《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例1】已知关于$x$的函数$y = (m - 2)x^{2} + mx + 1$是二次函数，求$m$的取值范围.

答案： 要使函数$y=(m - 2)x^{2}+mx + 1$是二次函数，二次项系数不能为$0$，即：
$m - 2\neq0$
解得：$m\neq2$
结论：$m$的取值范围是$m\neq2$

变式：已知函数$y = (m - 2)x^{m^{2} - m} + mx + 1$.
(1) 当$m$取何值时，$y$是$x$的二次函数？
(2) 当$m$取何值时，$y$是$x$的一次函数？

答案：
(1) 要使 $y$ 是 $x$ 的二次函数，需满足：
$\begin{cases}m^{2} - m = 2, \\m - 2 \neq 0.\end{cases}$
由 $m^{2} - m = 2$ 得 $m^{2} - m - 2 = 0$，
因式分解得 $(m - 2)(m + 1) = 0$，
解得 $m = 2$ 或 $m = -1$，
但 $m - 2 \neq 0$，所以 $m \neq 2$，
因此 $m = -1$。
(2) 要使 $y$ 是 $x$ 的一次函数，需分两种情况：
当 $m^{2} - m = 1$ 时，
$m^{2} - m - 1 = 0$，
解得 $m = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$，
此时 $m - 2 \neq 0$，满足条件；
当 $m - 2 = 0$ 时，$m = 2$，
此时 $y = 2x + 1$，是一次函数。
另当$m^2-m=0$时，
$m(m-1)=0$
得$m=0$或$m=1$，
若$m=0$，则$y=mx+1$为$y=1$（常数函数，不满足条件）；
若$m=1$，则$y=x+2$，满足条件；
综合上述讨论，得：
$m = 2$或$m = 1$或 $m = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$或$m = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$。

【例2】为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带$ABCD$，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住. 若设绿化带的边$BC$为$x$m，绿化带的面积为$y$m²，求$y$与$x$之间的函数关系式，并写出自变量$x$的取值范围.

答案： 解：因为四边形$ABCD$是矩形，$BC = x$m，栅栏总长为$40$m，所以$AB = CD=\frac{40 - x}{2}$m。
绿化带面积$y=AB× BC=\frac{40 - x}{2}× x$，整理得$y=-\frac{1}{2}x^{2}+20x$。
因为墙长$25$m，所以$BC=x\leq25$，又因为$AB=\frac{40 - x}{2}＞0$，即$40 - x＞0$，解得$x＜40$，所以自变量$x$的取值范围是$0＜x\leq25$。
综上，$y$与$x$之间的函数关系式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+20x$，自变量$x$的取值范围是$0＜x\leq25$。

1. 观察：①$y = 6x^{2}$；②$y = - 2x^{2} + 30x$；③$y = 200x^{2} + 400x + 200$. 这3个式子中，虽然函数有一项的、两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是2次. 一般地，如果$y = ax^{2} + bx + c$($a$，$b$，$c$是常数，$a \neq 0$)，那么$y$叫作$x$的二次函数.

答案： 1. 2 二次函数

2. 把$y = (2 - 3x)(6 + x)$变成一般式为y = -3x^{2}-16x + 12，其中二次项系数为-3，一次项系数为-16，常数项为12.

答案： $2. y = -3x^{2}-16x + 12 -3 -16 12$

3. 某人参加一次聚会，参加聚会的每两人都握了1次手. 设参加这次聚会的有$x$人，所有人共握手$y$次，则$y$与$x$的函数关系式为y = \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x.

答案： $3. y = \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x$

判断一个函数是否为二次函数的方法是什么？

答案： 判断一个函数是否为二次函数，需同时满足以上三个条件。

1. 若函数$y = (m - 6)x^{2} + 2x + 3$是关于$x$的二次函数，则$m$的取值范围为m≠6.

答案： 1. m≠6

2. 圆的半径为$r$，其周长为$C$，则$C$与$r$的关系式为C = 2\pi r，它是一次函数；若圆的面积为$S$，则$S$与$r$的关系式为S = \pi r^{2}，它是二次函数.

答案： $2. C = 2\pi r $一次$ S = \pi r^{2} $二次

3. 菱形两条对角线的和为26cm，则菱形的面积$S$(cm²)与一条对角线长$x$(cm)的关系式为S = -\frac{1}{2}x^{2}+13x.

答案： $3. S = -\frac{1}{2}x^{2}+13x$

4. 用火柴棒按如图所示方式摆放：

设第$n$个图需要$y$根柴棒，请写出$y$与$n$的函数关系式：y = \frac{3}{2}n^{2}+\frac{3}{2}n.

答案： $4. y = \frac{3}{2}n^{2}+\frac{3}{2}n$