《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

参照下面的分析过程，完成教材第5页的“问题1”。
1. 分析：
(1) 审题。
(2) 设正方体的棱长为 $ x $ dm。
(3) 找等量关系：。
(4) 列方程：。
2. 思考：
(1) 怎样解这个方程？如何将方程转化为 $ x^{2}=a $ 的形式？
(2)5和-5是方程的两个根，它们都符合问题的实际意义吗？

答案：
(1) 审题：题目涉及正方体表面积与体积关系，已知体积等于表面积，求棱长。
(3) 等量关系：正方体的体积等于其表面积。
(4) 设正方体的棱长为 $x$ dm，则正方体的体积为 $x^3$，表面积为 $6x^2$。根据等量关系，列方程：$x^{3} = 6x^{2}$。
@@答题（以下为对应题目示例，如方程为$x^{2}-5 = 0$的作答）
(1)对于方程$x^{2}-5 = 0$，根据等式性质，在方程两边同时加$5$，可得$x^{2}=5$。
(2)由$x^{2}=5$，开平方可得$x=\pm\sqrt{5}\approx\pm2.24$。若该方程实际问题背景为计算物体的实际长度（非负）等类似情况时，$- \sqrt{5}$不符合实际意义；若只是单纯的数学方程求解，$5$（此处应为前面所求$x = \pm \sqrt{5}$对应平方后为$5$ ，原题目中5和 - 5表述有误）的两个根$\sqrt{5}$和$-\sqrt{5}$都符合数学求解意义。若原方程是$x^{2}-25=0$，则$x^{2}=25$，解得$x = \pm5$，若实际问题背景为数量、长度等非负场景，$-5$不符合实际意义，若只是数学方程求解，$5$和$-5$都符合。

3. 你会解下列方程吗？
(1) $ 2x^{2}-8 = 0 $
(2) $ 9x^{2}+2 = 6 $

答案：
(1)
$2x^{2}-8 = 0$
$2x^{2}=8$
$x^{2}=4$
$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$
所以$x_1 = 2$，$x_2=-2$。
(2)
$9x^{2}+2 = 6$
$9x^{2}=6 - 2=4$
$x^{2}=\frac{4}{9}$
$x=\pm\sqrt{\frac{4}{9}}=\pm\frac{2}{3}$
所以$x_1=\frac{2}{3}$，$x_2=-\frac{2}{3}$。

4. 一般地，对于形如 $ x^{2}=p(p\geqslant0) $ 的方程，根据平方根的定义可得 $ x_{1}= $，$ x_{2}= $。这种解一元二次方程的方法叫作直接开平方法。
(1) 当 $ p＞0 $ 时，根据平方根的意义可知方程有两个不等的实数根 $ x_{1}=-\sqrt{p} $，$ x_{2}=\sqrt{p} $；
(2) 当 $ p = 0 $ 时，方程有两个相等的实数根 $ x_{1}=x_{2}=0 $；
(3) 当 $ p＜0 $ 时，因为对任何实数 $ x $ 都有 $ x^{2}\geqslant0 $，所以方程无实数根。
由方程 $ (mx + n)^{2}=p(p\geqslant0) $ 可得 $ mx + n = $。

答案： $\sqrt{p}$；$-\sqrt{p}$；$\pm\sqrt{p}$

【例1】利用直接开平方法解下列方程。
(1) $ x^{2}=6 $
(2) $ (x + 1)^{2}=2 $

答案：
(1)
由 $x^{2} = 6$，
根据平方根的定义，得$x = \pm \sqrt{6}$，
即 $x_{1} = \sqrt{6}$，$x_{2} = -\sqrt{6}$。
(2)
由 $(x + 1)^{2} = 2$，
根据平方根的定义，得$x + 1 = \pm \sqrt{2}$，
进一步解得$x = -1 \pm \sqrt{2}$，
即 $x_{1} = -1 + \sqrt{2}$，$x_{2} = -1 - \sqrt{2}$。

【例2】解下列方程。
(1) $ x^{2}-4x + 4 = 5 $
(2) $ 9x^{2}+6x + 1 = 4 $

答案：
(1) $x^{2}-4x + 4 = 5$
$(x-2)^{2}=5$
$x-2=\pm\sqrt{5}$
$x=2\pm\sqrt{5}$
$x_{1}=2+\sqrt{5}$，$x_{2}=2-\sqrt{5}$
(2) $9x^{2}+6x + 1 = 4$
$(3x+1)^{2}=4$
$3x+1=\pm2$
$3x+1=2$或$3x+1=-2$
$x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=-1$

1. 下列解方程的过程中，正确的是(D)。

A.$ x^{2}=-2 $，解得 $ x=\pm\sqrt{2} $
B.$ (x - 2)^{2}=4 $，整理得 $ x - 2 = 2 $，解得 $ x = 4 $
C.$ 4(x - 1)^{2}=9 $，整理得 $ 4(x - 1)=\pm3 $，解得 $ x_{1}=\dfrac{1}{4} $，$ x_{2}=\dfrac{7}{4} $
D.$ (2x + 3)^{2}=25 $，整理得 $ 2x + 3=\pm5 $，解得 $ x_{1}=1 $，$ x_{2}=-4 $

答案： 1. D