《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

4. 不解方程，求下列方程两个根 $ x_{1},x_{2} $ 的和与积.
(1) 对于 $ x^{2} - 3x - 1 = 0 $，$ x_{1} + x_{2} = $，$ x_{1} \cdot x_{2} = $.
(2) 对于 $ x^{2} - 3x + 2 = 0 $，$ x_{1} + x_{2} = $，$ x_{1} \cdot x_{2} = $.
(3) 对于 $ x^{2} + x = 5x + 6 $，$ x_{1} + x_{2} = $，$ x_{1} \cdot x_{2} = $.

答案：
(1) 3；-1
(2) 3；2
(3) 4；-6

5. 当二次项系数不为 1 时，方程的根与系数又有怎样的关系呢？
一般地，对于一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 的两个根 $ x_{1},x_{2} $，由求根公式知 $ x_{1} = \frac{ - b + \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} $，$ x_{2} = \frac{ - b - \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} $，能得出以下结果：
$ x_{1} + x_{2} = $，即两根之和等于；
$ x_{1} \cdot x_{2} = $，即两根之积等于.

答案： $ x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} $（即两根之和等于 $ -\frac{b}{a} $）；
$ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} $（即两根之积等于 $ \frac{c}{a} $）。

【例 1】利用根与系数的关系求下列方程的两根之和、两根之积.
(1) $ x^{2} - 6x - 15 = 0 $
(2) $ 3x^{2} + 7x - 9 = 0 $
(3) $ 5x - 1 = 4x^{2} $

答案：
(1)
对于方程$x^{2} - 6x - 15 = 0$，其中$a = 1$，$b = - 6$，$c = - 15$。
设方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据根与系数的关系$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
$x_{1}+x_{2}=-\frac{-6}{1}=6$；
$x_{1}x_{2}=\frac{-15}{1}=-15$。
(2)
对于方程$3x^{2} + 7x - 9 = 0$，其中$a = 3$，$b = 7$，$c = - 9$。
设方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据根与系数的关系$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
$x_{1}+x_{2}=-\frac{7}{3}$；
$x_{1}x_{2}=\frac{-9}{3}=-3$。
(3)
先将方程$5x - 1 = 4x^{2}$化为一般形式$4x^{2}-5x + 1 = 0$，其中$a = 4$，$b = - 5$，$c = 1$。
设方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据根与系数的关系$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
$x_{1}+x_{2}=-\frac{-5}{4}=\frac{5}{4}$；
$x_{1}x_{2}=\frac{1}{4}$。

【例 2】已知方程 $ 5x^{2} + kx - 6 = 0 $ 的一个根为 2，求它的另一个根及 $ k $ 的值.
解：设方程的另一个根是 $ x_{1} $，则 $ 2x_{1} = - \frac{6}{5} $，
$ \therefore x_{1} = $.
又 $ \because x_{1} + 2 = - \frac{k}{5} $，
$ \therefore k = $.
想一想：还有没有别的做法？

答案： 解：设方程的另一个根是$x_{1}$，
由根与系数的关系，有：
$2x_{1} = -\frac{6}{5}$
从上式，解得：
$x_{1} = -\frac{3}{5}$
再根据根与系数的关系，两根之和为：
$x_{1} + 2 = -\frac{k}{5}$
代入$x_{1} = -\frac{3}{5}$，得：
$-\frac{3}{5} + 2 = -\frac{k}{5}$
从上式，可以解得：
$k = -7$
所以，另一个根是$-\frac{3}{5}$，$k$的值是$-7$。
另一种做法：
将$x = 2$代入原方程$5x^{2} + kx - 6 = 0$得：
$5× 2^{2} + 2k - 6 = 0$，
$20 + 2k - 6 = 0$，
$2k = -14$，
解得：
$k = -7$
将$k = -7$代入原方程，得到：
$5x^{2} - 7x - 6 = 0$，
因式分解得：
$(5x + 3)(x - 2) = 0$
从上式，可以解得：
$x_{1} = 2$，$x_{2} = -\frac{3}{5}$。
所以另一个根是$-\frac{3}{5}$，$k$的值是$-7$。

【例 3】利用根与系数的关系求一元二次方程 $ 3x^{2} + 6x - 1 = 0 $ 的两个根的平方和、倒数和.
解：设方程的两个根分别为 $ x_{1},x_{2} $，
那么 $ x_{1} + x_{2} = $，$ x_{1}x_{2} = $.
$ \because (x_{1} + x_{2})^{2} = x_{1}^{2} + 2 $ $ + x_{2}^{2} $，
$ \therefore x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 $ $ = $，
$ \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = $ $ = $.
注意：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式，再整体代入.

答案： 设方程的两个根分别为$x_{1},x_{2}$，
对于一元二次方程$3x^{2} + 6x - 1 = 0$，其中$a = 3$，$b = 6$，$c=-1$，
那么$x_{1} + x_{2}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{6}{3}=-2$，$x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-1}{3}=-\dfrac{1}{3}$。
$\because (x_{1} + x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$，
$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(-2)^{2}-2×\left(-\dfrac{1}{3}\right)=4+\dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{3}$，
$\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=\dfrac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\dfrac{-2}{-\dfrac{1}{3}}=6$。
答案依次为：$-2$；$-\dfrac{1}{3}$；$x_{1}x_{2}$；$x_{1}x_{2}$；$\dfrac{14}{3}$；$\dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$；$6$。

1. 设 $ x_{1},x_{2} $ 为方程 $ x^{2} - 4x + 1 = 0 $ 的两个根，则：
(1) $ x_{1} + x_{2} = $4；
(2) $ x_{1}x_{2} = $1；
(3) $ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = $14；
(4) $ (x_{1} - x_{2})^{2} = $12.

答案： 1.
(1)4
(2)1
(3)14
(4)12