《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 解方程:$(27 - 18x)(21 - 14x) = 567 × \frac{3}{4}$.

答案： 1. 化简方程左边：
$27 - 18x = 9(3 - 2x)$，$21 - 14x = 7(3 - 2x)$，
左边$=9(3 - 2x) \cdot 7(3 - 2x) = 63(3 - 2x)^2$。
2. 计算方程右边：
$567 × \frac{3}{4} = \frac{1701}{4}$。
3. 原方程化为：
$63(3 - 2x)^2 = \frac{1701}{4}$，
两边同除以63：$(3 - 2x)^2 = \frac{27}{4}$。
4. 开平方得：
$3 - 2x = \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$。
5. 求解$x$：
当$3 - 2x = \frac{3\sqrt{3}}{2}$时，$-2x = \frac{3\sqrt{3}}{2} - 3$，$x = \frac{6 - 3\sqrt{3}}{4}$；
当$3 - 2x = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$时，$-2x = -\frac{3\sqrt{3}}{2} - 3$，$x = \frac{6 + 3\sqrt{3}}{4}$。
结论：$x_1 = \frac{6 - 3\sqrt{3}}{4}$，$x_2 = \frac{6 + 3\sqrt{3}}{4}$。

2. 列方程解应用题的一般步骤是什么?

答案： 列方程解应用题的一般步骤如下：
（1）审：审题，分析题目中已知量和未知量，明确各数量之间的关系。
（2）设：设未知数，可以直接设未知数，也可以间接设未知数。
（3）列：根据题目中的等量关系，列出方程。
（4）解：解所列的方程，求出未知数的值。
（5）验：检验所求的未知数的值是否符合题意，写出检验的过程。
（6）答：写出答案。

3. 列一元二次方程解决有关面积问题的应用题,从哪个条件找等量关系? 如何表示有关的量?

答案： 从题目中“面积相等”“面积不变”“面积是多少”等与面积相关的条件找等量关系。根据图形形状（如矩形、正方形等），用含未知数的代数式表示出相关边的长度，再利用面积公式（如矩形面积=长×宽，正方形面积=边长²）表示出面积，从而列出方程。

现要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形. 如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?
【分析1】封面的长宽之比是$27:21 =$,中央的长方形的长宽之比也应是,若设中央的长方形的长和宽分别是9x cm和,则上、下边衬为,左、右边衬为. 因为四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,所以中央矩形的面积是封面面积的四分之三,从而得方程;或直接根据四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一得方程.
【分析2】依据题意知:中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比$=9:7$,由此可以判定上、下边衬宽与左、右边衬宽之比为$9:7$,设上、下边衬的宽均为9x cm,则左、右边衬的宽均为7x cm,依题意得中央矩形的长为cm,宽为cm. 因为四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,所以中央矩形的面积是封面面积的四分之三,从而得方程;或直接根据四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一得方程.
注意:几何图形与一元二次方程的问题主要集中在几何图形的面积问题上,对于这类问题,面积公式是等量关系. 如果图形不规则,应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程.

答案： 分析1填空：
9:7；9:7；7x cm；(27 - 9x)/2 cm；(21 - 7x)/2 cm；9x·7x = (3/4)×27×21；27×21 - 9x·7x = (1/4)×27×21
分析2填空：
27 - 18x；21 - 14x；(27 - 18x)(21 - 14x) = (3/4)×27×21；27×21 - (27 - 18x)(21 - 14x) = (1/4)×27×21
解题步骤：
设中央矩形的长为9x cm，宽为7x cm。
中央矩形面积为封面面积的3/4，封面面积=27×21=567 cm²，
则9x·7x = (3/4)×567，
63x²=425.25，
x²=6.75，x=3√3/2（x＞0）。
上、下边衬宽=(27 - 9x)/2=(27 - 9×3√3/2)/2=27(2 - √3)/4≈1.8 cm，
左、右边衬宽=(21 - 7x)/2=(21 - 7×3√3/2)/2=21(2 - √3)/4≈1.4 cm。
结论：
上、下边衬宽约1.8 cm，左、右边衬宽约1.4 cm。