《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

8. 如图，已知抛物线的顶点为 $ A(1,4) $，抛物线与 $ y $ 轴交于点 $ B(0,3) $，与 $ x $ 轴交于 $ C,D $ 两点（点 $ C $ 在点 $ D $ 的左侧），点 $ P $ 是抛物线对称轴上的一动点。
（1）求此抛物线的解析式。
（2）当 $ PC + PB $ 的值最小时，求点 $ P $ 的坐标。
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 $ Q $，使以点 $ B,C,Q $ 为顶点的 $ \triangle BQC $ 为等腰三角形？若存在，请求出点 $ Q $ 的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： $8.(1)y=-(x-1)^{2}+4;(2)P(1,2); (3)$存在 Q为(1,0)或$(1,\sqrt{6})$或$(1,-\sqrt{6})$或(1,1).

1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数最值及增减性.
(1) $ y = 15(x + 10)^{2}+20 $
(2) $ y = -0.7(x + 1.2)^{2}-2.1 $
(3) $ y = 13(x - 5)^{2}+2 $

答案：
(1)
开口方向：由于$a = 15 ＞ 0$，所以开口向上。
对称轴：$x = -10$。
顶点坐标：$(-10, 20)$。
函数最值：最小值为 20。
增减性：当$x ＜ -10$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x ＞ -10$时，$y$随$x$的增大而增大。
(2)
开口方向：由于$a = -0.7 ＜ 0$，所以开口向下。
对称轴：$x = -1.2$。
顶点坐标：$(-1.2, -2.1)$。
函数最值：最大值为 -2.1。
增减性：当$x ＜ -1.2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x ＞ -1.2$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3)
开口方向：由于$a = 13 ＞ 0$，所以开口向上。
对称轴：$x = 5$。
顶点坐标：$(5, 2)$。
函数最值：最小值为 2。
增减性：当$x ＜ 5$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x ＞ 5$时，$y$随$x$的增大而增大。

2. 把抛物线 $ y = (x + 2)^{2}+3 $ 先向左平移 5 个单位长度，再向下平移 7 个单位长度所得抛物线的解析式是.

答案： $y=(x + 7)^{2}-4$

3. 把抛物线 $ y = x^{2}-6x + 10 $ 通过配方化为顶点式是，它的开口方向，对称轴为，顶点为.

答案： $y=(x - 3)^2 + 1$；向上；直线$x=3$；$(3,1)$

[问题 1] 怎样画函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2}-6x + 21 $ 的图象？
1. 用配方法将函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2}-6x + 21 $ 化成 $ y = a(x - h)^{2}+k $ 的形式.
2. 确定图象的开口方向、对称轴和顶点位置.
3. (1) 利用图象的对称性列表如下：

(2) 描点并连线：

4. 观察图象：在对称轴的左侧，抛物线从左到右(填“上升”或“下降”)，即当 $ x ＜ 6 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而. 在对称轴右侧呢？

答案： 下降；减小；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，即当$x＞6$时，$y$随$x$的增大而增大。