《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

7. 如图，已知$\angle O = 30^{\circ}$，$C$为$OB$上一点，且$OC = 6$，以点$C$为圆心，试判断半径为3的圆与$OA$的位置关系，并说明理由.

答案： 以$C$为圆心，半径为$3$的圆与$OA$的位置关系为相切，理由：
作$CD \perp OA$于点$D$，
在直角三角形$OCD$中，$\angle O = 30 ^{\circ} $，$OC = 6$，
所以，$CD = \frac{1}{2}OC = 3$（直角三角形中$30 ^{\circ} $所对直角边等于斜边的一半），
圆心$C$到$OA$的距离等于圆$C$的半径，
因此圆$C$与$OA$相切。

8. 如图，正方形$ABCD$的边长为1.
(1)以点$A$为圆心、1为半径的圆与直线$BC$有怎样的位置关系？
(2)以$A$为圆心，当半径为多少时，圆与直线$BD$相切？

答案：
(1) 以点 $A$ 为圆心、1 为半径的圆与直线 $BC$ 相切。
理由：
由于 $ABCD$ 是正方形，边长为 1，
所以$AB=1$，
因为$BC$与$AB$相邻，
圆心 $A$ 到直线 $BC$ 的距离等于正方形的边长 1，等于圆的半径。
所以圆与 $BC$ 相切。
(2) 以 $A$ 为圆心，当半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，圆与直线 $BD$ 相切。
理由：
由于 $ABCD$ 为正方形，边长为 1，
连接$BD$，
则$BD$为正方形$ABCD$的对角线，
所以$\angle DAB=90°$，$AD=AB=1$，
所以$\triangle DAB$为等腰直角三角形，
过点$A$作$BD$的垂线，垂足为$O$，
则$AO$为点 $A$ 到直线 $BD$ 的距离，
根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} × AO × BD=\frac{1}{2} × AD × AB$
在$Rt\triangle DAB$中，根据勾股定理可得：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
所以$AO=\frac{AD × AB}{BD}=\frac{1 × 1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即点 $A$ 到直线 $BD$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以当半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，圆与直线 $BD$ 相切。

1. 下雨天，小明转动手中的雨伞，突发奇想：如果把雨伞的伞面看作一个圆，沿着雨伞边缘飞出的水珠所走的路线看作直线，那么这些直线是不是圆的切线呢？

答案： 答题：
这些直线是圆的切线。
理由如下：
设伞柄的端点 $O$ 为圆心，雨伞边缘为圆 $O$，飞出的水珠所走的路线为直线 $l$。
当雨伞旋转时，水珠沿雨伞边缘的切线方向飞出，即水珠飞出的方向与雨伞边缘在该点的半径垂直。
设雨伞边缘上任意一点 $P$，则 $OP$ 为半径，水珠飞出的方向与 $OP$ 垂直，即与圆 $O$ 在点 $P$ 的切线方向相同。
因此，直线 $l$ 是圆 $O$ 的切线。
所以沿着雨伞边缘飞出的水珠所走的路线是圆的切线。

2. 直线和圆有个公共点时，我们说这条直线和圆相切，这条直线叫作圆的切线，并且当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于.

答案： 1 ， 圆的半径（或半径）

3. 圆的切线的判定方法：
(1)根据切线的定义：；
(2)根据直线到圆心的距离$d$与半径$r$的大小关系：______.

答案：
(1)直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线；
(2)当$d=r$时，直线和圆相切

1. 如图, 在 $\odot O$ 中, 经过半径 $OA$ 的外端点 $A$ 作直线 $l \perp OA$, 圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离是多少? 直线 $l$ 和 $\odot O$ 有什么位置关系?

分析: $\because$ 直线 $l \perp OA$, 而点 $A$ 是 $\odot O$ 的半径 $OA$ 的外端点, $\therefore$ 直线 $l$ 与 $\odot O$ 只有一个交点,并且圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离是垂线段 $OA$, 即是 $\odot O$ 的半径, $\therefore$ 直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切.
【归纳总结】
切线的判定定理: .
符号语言:
$\because$ 直线 $l \perp OA$, 且 $l$ 经过 $\odot O$ 上的点 $A$,
$\therefore$ 直线 $l$ 是 $\odot O$ 的切线.
在此定理中, 题设是“”和“”, 结论为“”, 两个条件缺一不可, 否则就不是圆的切线.
下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线:

答案： 圆心$O$到直线$l$的距离是$\odot O$的半径；直线$l$和$\odot O$相切。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”。