《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

2. △PQR∽△PST的理论依据是________________________.

答案： 【解析】：相似三角形的定义或相似三角形的判定定理（具体依据题目图形中给出的条件，如两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例等，此处因未给出图形，最基础的理论依据为相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似）
【答案】：相似三角形的定义（或相应的相似三角形判定定理，根据具体图形条件填写，此处以最基础定义为例）
注：由于题目未给出具体图形，无法确定具体的判定定理（如AA、SAS、SSS），因此最通用的理论依据是相似三角形的定义。若原题图形中有两角对应相等，则依据“两角分别相等的两个三角形相似”；若有两边成比例且夹角相等，则依据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”等。请根据实际图形选择最准确的判定定理作为答案。若仅需填写通用依据，“相似三角形的定义”或“相似三角形的判定定理”均可，此处以教材中常用的判定定理表述为例，若默认两角相等的情况较多，也可填写“两角分别相等的两个三角形相似”。但严格来说，最完整的通用答案为“相似三角形的定义”。
最终根据教材常规，若题目配图中是通过测量角度得出相似，则【答案】：两角分别相等的两个三角形相似。若无法确定，最稳妥的基础理论依据为【答案】：相似三角形的定义。
考虑到九年级上册27.2.3节主要学习利用相似三角形解决实际问题，常用的判定方法是“两角分别相等的两个三角形相似”，因此推测此处答案应为：
【答案】：两角分别相等的两个三角形相似

3. 除了教材上的测量河的宽度的方法,你还有什么办法?
如图,构造求解.

答案： 构造两个相似的直角三角形.在河对岸确定目标点A，河岸边取点B（AB为河宽，AB⊥河岸），在岸边过B作射线BC，截取BC=CD，过D作DE⊥BC，使E、C、A共线.则△ABC∽△EDC（∠ACB=∠ECD，∠ABC=∠EDC=90°），得AB/ED=BC/CD.因BC=CD，故AB=ED，测量ED即得河宽.

【例1】在某一时刻,有人测得一根1.8米的竹竿的影长为3米. 在同一时刻,某一高楼的影长为90米,那么高楼的高度是多少米? (在同一时刻,物体的高度与它的影长成正比.)
变式:如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB. 他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上. 已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,且测得边DF离地的高度AC=1.5m,CD=8m. 树高AB是多少米?

答案： 例1解答：
设高楼高度为$ h $米，由题意得：
$\frac{1.8}{3} = \frac{h}{90}$
解得$ h = 54 $
答：高楼的高度是54米。
变式解答：
1. 单位换算：$ DE=40\,cm=0.4\,m $，$ EF=20\,cm=0.2\,m $。
2. 由题意知$ \angle DEF=90° $，$ DF // AC $（水平），则$ \angle BHD=90° $（$ H $为$ B $在$ DF $上的投影）。
3. $ \because \angle EDF=\angle HDB $（公共角），$ \angle DEF=\angle DHB=90° $，
$ \therefore \triangle DEF \sim \triangle DHB $（AA相似）。
4. 由相似三角形性质：$ \frac{EF}{BH}=\frac{DE}{DH} $，其中$ DH=CD=8\,m $。
代入得：$ \frac{0.2}{BH}=\frac{0.4}{8} $，解得$ BH=4\,m $。
5. 树高$ AB=AC+BH=1.5+4=5.5\,m $。
答：树高$ AB $是5.5米。

【例2】如图,为了测量水塘边A,B两点之间的距离,在可以看到A,B的点E处取AE,BE延长线上的D,C两点,使得CD//AB. 若测得CD=5m,AD=15m,ED=3m,点A,B间的距离为多少米?

答案：
∵CD//AB，
∴△ABE∽△DCE（两直线平行，内错角相等，两角对应相等的两个三角形相似）。
∵AD=15m，ED=3m，
∴AE=AD - ED=15 - 3=12m。
∵△ABE∽△DCE，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{DE}$（相似三角形对应边成比例）。
∵CD=5m，AE=12m，DE=3m，
∴$\frac{AB}{5}=\frac{12}{3}$，
解得AB=20m。
答：点A,B间的距离为20米。

1. 小刚身高为1.7m,测得他站立在阳光下的影子为0.85m,紧接着他把手臂竖直举起,测得影子为1.1m. 那么,小刚举起的手臂超出头顶(A).

A.0.5m
B.0.55m
C.0.6m
D.2.2m

答案： 1.A

2. 小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图如图所示,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙的顶端C处. 已知AB=2m,测得BP=3m,DP=12m,那么该古城墙的高度是(B).


A.6m
B.8m
C.18m
D.24m

答案： 2.B