《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

如何利用二次函数求图形面积的最值?

答案： 利用二次函数求图形面积最值的步骤为设变量、列函数关系式、确定自变量范围、根据二次函数顶点坐标求最值。

1. 如图,已知正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 1 $, $ E $, $ F $, $ G $, $ H $ 分别为各边上的点,且 $ AE = BF = CG = DH $. 设小正方形 $ EFGH $ 的面积为 $ y $, $ AE $ 为 $ x $,则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数图象大致是().

答案： 1.B

2. 周长为 $ 16 cm $ 的矩形的最大面积为 $ cm^{2} $,此时矩形的边长为 $ cm $,实际上此时矩形是.

答案： 2.16 4 正方形

3. 如图,线段 $ AB $ 的长为 $ 2 $, $ C $ 为 $ AB $ 上一个动点,分别以 $ AC $, $ BC $ 为斜边在 $ AB $ 的同侧作两个等腰直角 $ \triangle ACD $ 和 $ \triangle BCE $,那么 $ DE $ 长的最小值是.

答案： 3.1

4. 已知一个直角三角形的两条直角边的和等于 $ 8 $,当两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大? 最大值是多少?

答案： 4.两直角边各为4时，直角三角形的面积最大，最大面积为8.

5. 一块三角形材料如图所示, $ \angle A = 30^{\circ} $, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ AB = 12 $. 用这块材料剪出一个矩形 $ CDEF $,其中点 $ D $, $ E $, $ F $ 分别在 $ AC $, $ AB $, $ BC $ 上. 要使剪出的矩形 $ CDEF $ 的面积最大,点 $ E $ 应选在何处?

答案： 5.解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A=30^{\circ}，$AB=12，
$\therefore BC=6,AC=AB\cdot\cos30^{\circ}=12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.$
$\because$四边形CDEF是矩形，
$\therefore EF// AC，$
$\therefore\triangle BEF\backsim\triangle BAC，$
$\therefore\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}$
设AE=x，则BE=12-x，
$EF=\frac{6\sqrt{3}(12-x)}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}(12-x)，$
在$Rt\triangle ADE$中，$DE=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}x.$
矩形CDEF的面积为$S=DE\cdot EF=\frac{1}{2}x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}(12$
$-x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}+3\sqrt{3}x(0＜x＜6).$
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{3\sqrt{3}}{2×(-\frac{\sqrt{3}}{4})}=6$时，S有最大值.
$\therefore$点E应选在AB的中点处.