《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

5. 如图, $D$ 为 $\odot O$ 上一点, 点 $C$ 在直径 $BA$ 的延长线上, 且 $\angle CDA = \angle CBD$.
(1) 求证: $CD$ 是 $\odot O$ 的切线;
(2) 若 $AC = 8, CD = 12$, 求 $\odot O$ 的半径.

答案： 5.
(1)略.
(2)5

6. 如图, 在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle C = 90°$, 点 $O$ 在 $AC$ 上, 以 $OA$ 为半径的半圆 $O$ 交 $AB$ 于点 $D$, 交 $AC$ 于点 $E$, 点 $F$ 在 $BC$ 上, 且 $BF = DF$.
(1) 求证: $DF$ 是半圆 $O$ 的切线;
(2) 若 $AC = 4, BC = 3, CF = 1$, 求半圆 $O$ 的半径.

答案： 6.
(1)略$. (2)\frac{13}{8}$

1. 三角形的外接圆及外心：经过三角形的3个顶点的圆叫作，三角形的外心是三角形的3条的交点，它到三角形的3个顶点的距离。

答案： 三角形的外接圆；边的垂直平分线；相等

2. 一个圆有条切线，过圆外一点可以作圆的条切线。

答案： 无数；2

3. 切线是直线，是无限长的，不可度量；切线长是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离，可以度量。

答案： 正确

思考：过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条。那么，经过圆外一点P，如何准确地作已知⊙O的切线？
（提示：连接OP，以OP为直径作⊙O'交⊙O于A，B两点，作射线PA，PB，则PA，PB为⊙O的切线，切点为A，B。）
【归纳总结】
切线长：______。
切线与切线长的区别：圆的切线是直线；而切线长是一条线段长，不是直线。
探究：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB、∠APO与∠BPO有什么关系？

分析：如图，连接OA和OB。
∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP。
∵OA = OB，OP = OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP，
∴PA = PB，∠APO = ∠BPO。
【归纳总结】
切线长定理：______。
思考：如图是一块三角形铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的3条边都相切？
分析：与△ABC三边都相切的圆的圆心到三角形的三边的距离都等于，那么这个圆的圆心的位置是三角形的3条角平分线的交点。
第1步：分别作∠ABC，∠ACB的，两线交于点I；
第2步：过点I作ID⊥BC，垂足为D；
第3步：以点I为圆心，以为半径，即可作出△ABC的内切圆。
【归纳总结】
内切圆：。
内心：。

答案： 从圆外一点引圆的两条切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长；
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角；
圆的半径；
角平分线；
$ID$；
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。