《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 在半径为 $ R $ 的圆中:
$ 1^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长是;
$ n^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长是.

答案： $1^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长是 $\underline{\frac{\pi R}{180}}$；
$n^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长是 $\underline{\frac{n\pi R}{180}}$。

2. 在半径为 $ R $ 的圆中:
$ 1^{\circ} $ 的圆心角所对应的扇形的面积是,
$ n^{\circ} $ 的圆心角所对应的扇形的面积是.

答案： $\frac{\pi R^2}{360}$；$\frac{n\pi R^2}{360}$

3. 半径为 $ R $、弧长为 $ l $ 的扇形的面积是.

答案： $\frac{1}{2}lR$

1. 探索弧长公式:
[问题]制造弯形管道时,经常要先按中心线计算“展直长度”,再下料,这就涉及计算弧长的问题. 如图,根据图中的数据你能计算出$\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$的长吗? 求出弯道的展直长度.

[思考]你还记得圆的周长的计算公式吗?圆的周长可以看作多少度的圆周角所对的弧长? 由此出发,$ 1^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长是多少? $ n^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长多少?
在半径为 $ R $ 的圆中,圆周长的计算公式为 $ C = 2\pi R $,则圆的周长可以看作 $ 360^{\circ} $ 的圆心角所对的弧.
由此可得出 $ n^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长是(弧长公式).
注意:在应用弧长公式进行计算时,要注意公式中 $ n $ 的意义,$ n $ 表示 $ 1^{\circ} $ 圆心角的倍数,它是不带单位的. 对于公式,可以按推导过程来理解记忆. 区分弧、弧度、弧长 3 个概念,度数相等的弧,弧长不一定相等;弧长相等的弧也不一定是等弧,而只有在同圆或等圆中才可能是等弧.

答案： $ l = \frac{n\pi R}{180} $；弯道展直长度为 $ (500\pi + 140)\ mm $

2. 扇形面积计算公式:
[问题]在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长 $ 3 \, m $ 的绳子,绳子的另一端拴着一只羊.
(1)这只羊的最大活动面积是多少?
(2)如果这只羊只能绕过柱子 $ n^{\circ} $ 角,那么它的最大活动面积是多少?
[思考]扇形面积的大小与哪些因素有关?
扇形的定义:____.
从扇形的定义可知,扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关. 扇形的半径越长,扇形面积越大;扇形的圆心角越大,扇形面积越大.
扇形的面积公式:.
我们可以用弧长来表示扇形的面积:
$ S_{扇} = $.

答案：
(1)$9\pi m^2$；
(2)$\frac{n\pi}{40} m^2$；由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形；$\frac{n\pi r^2}{360}$；$\frac{1}{2}lr$