《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

2. 体积为 $20\ cm^3$ 的滴胶做成圆柱体模型,圆柱体的高度 $y(cm)$ 与底面积 $S(cm^2)$ 的函数关系为y = \frac{20}{S},若要使做出来的圆柱粗 $1\ cm^2$,则圆柱的高度是20 $cm$.

答案： $2.y = \frac{20}{S} 20$

3. $A,B$ 两城市相距 $720\ km$,一列火车从 $A$ 城去 $B$ 城.
(1) 火车的速度 $v(km/h)$ 和行驶的时间 $t(h)$ 之间的函数关系式是v = \frac{720}{t}.
(2) 若到达目的地后,按原路匀速返回,并要求在 $3\ h$ 内回到 $A$ 城,则返回的速度不能低于240 km/h.

答案： $3.(1)v = \frac{720}{t} (2)240 km/h$

4. 某单位为响应政府发出的全民健身的号召,打算在长和宽分别为 $20$ 米和 $11$ 米的矩形大厅内修建一个 $60$ 平方米的矩形健身房 $ABCD$.该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁(下图为平面示意图),已知装修旧墙壁的费用为 $20$ 元/平方米,新建(含装修)墙壁的费用为 $80$ 元/平方米.设健身房的高为 $3$ 米,一面旧墙壁 $AB$ 的长度为 $x$ 米,修建健身房的总投入为 $y$ 元.
(1) 求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式.
(2) 为了合理利用大厅,要求自变量 $x$ 必须满足 $8\leq x\leq12$.当投入资金为 $4800$ 元时,利用旧墙壁的总长度为多少米?

答案： $4.(1)y = 300(x + \frac{60}{x}). (2)16 $米

5. 阅读材料:若 $a,b$ 都是非负实数,则 $a + b\geq2\sqrt{ab}$,当且仅当 $a = b$ 时,“$=$”成立.
证明:$\because (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2\geq0,\therefore a - 2\sqrt{ab} + b\geq0$.
$\therefore a + b\geq2\sqrt{ab}$,
当且仅当 $a = b$ 时,“$=$”成立.
举例应用:已知 $x ＞ 0$,求函数 $y = 2x + \frac{2}{x}$ 的最小值.
解:$y = 2x + \frac{2}{x}\geq2\sqrt{2x\cdot\frac{2}{x}} = 4$.
当且仅当 $2x = \frac{2}{x}$,即 $x = 1$ 时,“$=$”成立.
当 $x = 1$ 时,函数取得最小值,$y_{最小} = 4$.
问题解决:
汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度.某种汽车在每小时 $70\sim110$ 千米之间行驶时(含 $70$ 千米和 $110$ 千米),每千米耗油 $(\frac{1}{18} + \frac{450}{x^2})$ 升.若该汽车以每小时 $x$ 千米的速度匀速行驶,$1$ 小时的耗油量为 $y$ 升.
(1) 求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式(写出自变量 $x$ 的取值范围).
(2) 求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量(结果保留小数点后一位).

答案： $5.(1)y = \frac{1}{18}x + \frac{450}{x}(70 \leq x \leq 110). (2)11.1 $升