《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

变式：已知圆锥的侧面展开图的面积是$ 65\pi \mathrm{cm}^2 $，直径是$ 10 \mathrm{cm} $，求圆锥的高是多少.

答案：
∵圆锥直径为10cm，
∴底面半径$ r = \frac{10}{2} = 5\ cm $。
设圆锥母线长为$ l $，侧面展开图面积为$ S = 65\pi\ cm^2 $，圆锥侧面积公式为$ S = \pi rl $，
则$ 65\pi = \pi × 5 × l $，解得$ l = 13\ cm $。
圆锥的高$ h $、底面半径$ r $、母线$ l $满足勾股定理：$ h^2 + r^2 = l^2 $，
∴$ h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ cm $。
答：圆锥的高是$ 12\ cm $。

【例2】蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建$ 20 $个底面积为$ 12 \mathrm{m}^2 $、高为$ 3.2 \mathrm{m} $、外围高为$ 1.8 \mathrm{m} $的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡？（$ \pi $取$ 3.142 $，结果取整数.）

答案： 1. 由底面积求半径：底面积$ \pi r^2 = 12 $，得$ r = \sqrt{\frac{12}{\pi}} \approx \sqrt{\frac{12}{3.142}} \approx 1.954 \, m $。
2. 圆柱侧面积：圆柱高$ h_1 = 1.8 \, m $，$ S_1 = 2\pi r h_1 \approx 2 × 3.142 × 1.954 × 1.8 \approx 22.11 \, m^2 $。
3. 圆锥高：$ h_2 = 3.2 - 1.8 = 1.4 \, m $。
4. 圆锥母线长：$ l = \sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{\left(\frac{12}{\pi}\right) + 1.4^2} \approx \sqrt{3.819 + 1.96} \approx 2.404 \, m $。
5. 圆锥侧面积：$ S_2 = \pi r l \approx 3.142 × 1.954 × 2.404 \approx 14.76 \, m^2 $。
6. 一个蒙古包毛毡面积：$ S = S_1 + S_2 \approx 22.11 + 14.76 = 36.87 \, m^2 $。
7. 20个蒙古包总面积：$ 20 × 36.87 \approx 737 \, m^2 $。
737

1. 如图，已知圆锥的母线与高的夹角为$ 30^{\circ} $，则圆锥侧面展开图的圆心角的度数为().

A.$ 90^{\circ} $
B.$ 120^{\circ} $
C.$ 180^{\circ} $
D.$ 210^{\circ} $

答案： 1 C

2. 如图，从一张直径是$ 2 $的圆形纸片上剪出一个圆心角为$ 90^{\circ} $的扇形，若剪出的扇形恰好可以围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的面积是().

A.$ \pi $
B.$ \frac{\pi}{4} $
C.$ \frac{\pi}{8} $
D.$ \frac{\pi}{16} $

答案： 2 C

3. 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个半圆. 若此半圆的半径为$ 6 \mathrm{cm} $，则原圆锥的底面圆半径$ r $为$ \mathrm{cm} $.

答案： 3 3

4. 已知圆锥的底面半径为$ 1 \mathrm{cm} $，母线长为$ 3 \mathrm{cm} $，则它的侧面展开图的面积为.

答案： $4 3\pi cm²$

5. 如图，扇形圆心角$ \angle AOB = \alpha $，半径$ OA = 6 $，把扇形做成圆锥后，其底面半径为$ 2 $.
（1）求$ \alpha $的值；
（2）点$ C $是$ OA $上的一点，若$ OC = 4 $，求$ S_{阴影} $.

答案： $5 (1)120° (2)12\pi - 6\sqrt{3}$

6. 如图，从半径为$ 9 \mathrm{cm} $的圆形纸片剪去$ \frac{1}{3} $圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠）. 这个圆锥的高为多少？

答案： $6 3\sqrt{5}$