《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

7. 如图，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 3\mathrm{cm}$，$AC = 4\mathrm{cm}$，$D$为$AB$的中点，$E$为$AC$的中点，以$B$为圆心、$BC$的长为半径作$\odot B$. 问：点$A$，$C$，$D$，$E$与$\odot B$的位置关系如何？

答案： $BC = 3cm$，$\odot B$的半径为$3cm$。
点$C$：
因为$BC = 3cm$，即点$C$到圆心$B$的距离等于半径，
所以点$C$在$\odot B$上。
点$A$：
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 3cm$，$AC = 4cm$，
根据勾股定理可得$AB = \sqrt{BC^{2} + AC^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5cm$。
因为$AB = 5cm ＞ 3cm$，即点$A$到圆心$B$的距离大于半径，
所以点$A$在$\odot B$外。
点$D$：
因为$D$为$AB$的中点，所以$BD=\frac{1}{2}AB = 2.5cm$。
因为$BD = 2.5cm ＜ 3cm$，即点$D$到圆心$B$的距离小于半径，
所以点$D$在$\odot B$内。
点$E$：
连接$BE$，在$\mathrm{Rt}\triangle BCE$中，$BC = 3cm$，$CE=\frac{1}{2}AC = 2cm$，
根据勾股定理可得$BE = \sqrt{BC^{2} + CE^{2}} = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13}cm\approx 3.61cm ＞ 3cm$。
因为$BE ＞ 3cm$，即点$E$到圆心$B$的距离大于半径，
所以点$E$在$\odot B$外。
综上，点$C$在$\odot B$上，点$A$、$E$在$\odot B$外，点$D$在$\odot B$内。

1. 决定圆的位置，决定圆的大小，如果要作一个圆经过已知点，那么要作出这个圆的关键是要找到.

答案： 圆心；半径；圆心

2. 思考：经过3个点能否作出一个圆？

答案： 答：
当3个点不在同一条直线上时，经过这3个点可以作出一个圆，并且只能作出一个圆（即三角形的外接圆，这3个点为不共线的三点，确定一个圆）；
当3个点在同一条直线上时，不能作出一个圆。

3. 经过三角形的3个顶点可以作一个圆，这个圆叫作.

答案： 三角形的外接圆

4. 三角形外接圆的圆心是三角形的的交点，这个点叫作这个三角形的，一个三角形有个外接圆，而一个圆有个内接三角形.

答案： 三边垂直平分线；外心；一；无数

[问题1]如图①，作经过已知点的圆，这样的圆你能作出多少个？
如图②，作经过已知点A，B的圆，这样的圆能作多少个？它们的圆心分布有什么特点？
如图③，在平面上有不共线的3个点A，B，C，过这3个点能画多少个圆？圆心在哪里？
[问题2]三角形的外心与三角形的位置关系是什么？（自己动手画图归纳.）
思考：如果A，B，C三点在同一直线上，能画出经过这3个点的圆吗？为什么？

答案： 问题1：
1. 无数个。
2. 无数个；圆心都在线段AB的垂直平分线上。
3. 1个；圆心是线段AB和线段BC（或AC）垂直平分线的交点。
问题2：
锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形外心在斜边中点；钝角三角形外心在三角形外部。
思考：
不能；因为过同一直线上三点的圆的圆心需同时在两条平行的垂直平分线上，无交点，故不存在。

1. 过一个已知点A作圆，这样的圆能作个.

答案： 无数

2. 过两个已知点A，B作圆，这样的圆能作个，满足条件的圆的圆心在.

答案： 无数，线段$AB$的垂直平分线上

3. 过不在同一直线上的3个已知点A，B，C作圆.
(1)因为要作的圆过点A和点B，所以圆心在上.
(2)因为要作的圆过点B和点C，所以圆心在上.
所以，经过点A，B，C的圆的圆心在上，这样的圆能作个.
(3)如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用次就可以找到圆形工件的圆心.

(4)经过4个点是不是一定能作圆？

答案：
(1) $AB$ 的垂直平分线。
(2) $BC$ 的垂直平分线；$AB$ 和 $BC$ 的垂直平分线的交点；$1$。
(3) $2$。
(4) 不一定，当这$4$个点中存在$3$个点在同一直线上时，无法作圆；当这$4$个点中任意$3$个点都不在同一条直线上时，可以作圆。