《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例 1】不解方程，判断下列方程根的情况。
(1) $3x^{2}+4x - 3 = 0$
(2) $x(x - 4)=2 - 8x$

答案：
(1) 对于方程 $3x^{2}+4x - 3 = 0$：
$a = 3$，$b = 4$，$c = -3$。
$\Delta = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4 × 3 × ( - 3) = 16 + 36 = 52 ＞ 0$。
所以，方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程 $x(x - 4)=2 - 8x$：
整理得$x^{2} - 4x + 8x - 2 = 0$，即$x^{2} + 4x - 2 = 0$。
$a = 1$，$b = 4$，$c = -2$。
$\Delta = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4 × 1 × ( - 2) = 16 + 8 = 24 ＞ 0$。
所以，方程有两个不相等的实数根。

【例 2】用公式法解下列方程。
(1) $x^{2}-4x - 7 = 0$
(2) $2x^{2}-2\sqrt{2}x + 1 = 0$
(3) $5x^{2}-3x = x + 1$
(4) $x^{2}+17 = 8x$

答案：
(1)对于方程 $x^{2}-4x-7=0$：
$a = 1,b = -4,c = -7$，
$\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4×1×(-7)=16 + 28 = 44$，
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{44}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{11}}{2}=2\pm\sqrt{11}$，
$x_{1}=2+\sqrt{11},x_{2}=2 - \sqrt{11}$。
(2)对于方程 $2x^{2}-2\sqrt{2}x + 1 = 0$：
$a = 2,b = -2\sqrt{2},c = 1$，
$\Delta = b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4×2×1 = 8 - 8 = 0$，
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\sqrt{2}\pm0}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(3)对于方程 $5x^{2}-3x = x + 1$，整理得$5x^{2}-4x - 1 = 0$：
$a = 5,b = -4,c = -1$，
$\Delta = b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×5×(-1)=16 + 20 = 36$，
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4\pm6}{10}$，
$x_{1}=\frac{4 + 6}{10}=1,x_{2}=\frac{4-6}{10}=-\frac{1}{5}$。
(4)对于方程 $x^{2}+17 = 8x$，整理得$x^{2}-8x + 17 = 0$：
$a = 1,b = -8,c = 17$，
$\Delta = b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×1×17=64 - 68=-4\lt0$，
此方程无实数根。

【例 3】若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+8x+q = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $q$ 的取值范围是()。

A.$q\leq4$
B.$q\geq4$
C.$q＜16$
D.$q＞16$

答案： C

变式 1：若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}-2x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是()。

A.$k＞-1$
B.$k＞-1$ 且 $k\neq0$
C.$k＜1$
D.$k＜1$ 且 $k\neq0$

答案： B

变式 2：若关于 $x$ 的方程 $kx^{2}-2x - 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是()。

A.$k\geq - 1$
B.$k\geq - 1$ 且 $k\neq0$
C.$k＜1$
D.$k＜1$ 且 $k\neq0$

答案： A

用公式法解下列方程。
(1) $(x + 1)(3x - 1)=1$
(2) $x^{2}+9 = 6x$

答案：
(1) $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}$, $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{7}}{3}$;
(2) $x_1 = x_2 = 3$.

这节课你学到了哪些知识？哪些地方需要特别注意？

答案： 见解析

1. 写出一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0,b^{2}-4ac\geq0)$ 的求根公式。

答案： 1. $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$