《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 一次函数的表达式为.

答案： 本题是填空题，不存在选项，若按照要求格式输入则无对应内容（若此题有具体选项设置等问题，可按照$y = kx + b(k\neq0)$对应形式去选择，当前无此情况）。

2. 二次函数的定义：
形如的函数叫作二次函数. 其中，$x$是，$a$是，$b$是，$c$是.

答案： $y = ax^2 + bx + c$（$a$、$b$、$c$是常数，$a \neq 0$）；自变量；二次项系数；一次项系数；常数项

3. 你能举出几个二次函数的例子吗？

答案： y = x²；y = 2x² + 3x - 1；y = -x² + 5；y = 0.5x² - 2x；y = -3x² + 4

阅读教材第28，29页“问题1”“问题2”的内容，然后回答问题.
1. 函数是用来表示某些问题中变量之间的关系，函数①②③有什么共同点？
2. (1) 二次函数的一般形式：.
思考：二次项系数$a$为什么不等于$0$？$b$，$c$可以为$0$吗？为什么？
(2) 自变量的取值范围：$x$取.
注意：由实际问题抽象出的二次函数，自变量的取值范围应使实际问题有意义.
3. 下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各个对应项的系数.
(1) $y = 1 - 3x^{2}$
(2) $y = 3x^{2} + 2x$
(3) $y = x(x - 5) + 2$
(4) $y = 3x^{3} + 2x$
(5) $y = x + \frac{1}{x}$
(6) $y = x^{2} - x(1 + x)$
【归纳总结】判定二次函数需3个条件：①各项都是整式；②$x$的最高次数是2；③二次项系数$a \neq 0$.

答案： 1. 共同点：都是整式函数，自变量的最高次数是2。
2.
(1) $y = ax^{2} + bx + c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a \neq 0$）
思考：若$a = 0$，函数变为一次函数或常数函数，不符合二次函数定义；$b$，$c$可以为0，此时函数为$y = ax^{2}$或$y = ax^{2} + bx$等，仍满足二次函数定义。
(2) 全体实数
3.
(1) 是二次函数，二次项系数$-3$，一次项系数$0$，常数项$1$。
(2) 是二次函数，二次项系数$3$，一次项系数$2$，常数项$0$。
(3) 是二次函数，$y = x^{2} - 5x + 2$，二次项系数$1$，一次项系数$-5$，常数项$2$。
(4) 不是二次函数。
(5) 不是二次函数。
(6) 不是二次函数，化简后$y = -x$是一次函数。