《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例2】解下列方程.
(1)$x(x - 2)+x - 2=0$
(2)$5x^{2}-2x-\frac{1}{4}=x^{2}-2x+\frac{3}{4}$

答案：
(1)
解：
对$x(x - 2)+x - 2$提取公因式$(x - 2)$可得：
$(x - 2)(x + 1)=0$
则$x - 2 = 0$或$x + 1 = 0$
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$
(2)
解：
先对原方程$5x^{2}-2x-\frac{1}{4}=x^{2}-2x+\frac{3}{4}$进行移项：
$5x^{2}-x^{2}-2x + 2x-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=0$
合并同类项得：
$4x^{2}-1 = 0$
利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对$4x^{2}-1$因式分解，其中$a = 2x$，$b = 1$，可得：
$(2x + 1)(2x - 1)=0$
则$2x + 1 = 0$或$2x - 1 = 0$
解得$x_{1}=-\frac{1}{2}$，$x_{2}=\frac{1}{2}$

【例3】用适当的方法解方程.
(1)$3x(x + 5)=5(x + 5)$
(2)$(5x + 1)^{2}=1$
(3)$x^{2}-12x=4$
(4)$3x^{2}=4x + 1$

答案：
(1)
解：移项得$3x(x + 5) - 5(x + 5)=0$，
因式分解得$(x + 5)(3x - 5)=0$，
则$x + 5 = 0$或$3x - 5 = 0$，
解得$x_{1}=-5$，$x_{2}=\frac{5}{3}$。
(2)
解：开方得$5x + 1=\pm1$，
当$5x + 1 = 1$时，$5x=0$，解得$x_{1}=0$；
当$5x + 1=-1$时，$5x=-2$，解得$x_{2}=-\frac{2}{5}$。
(3)
解：配方得$x^{2}-12x + 36=4 + 36$，
即$(x - 6)^{2}=40$，
开方得$x - 6=\pm2\sqrt{10}$，
解得$x_{1}=6 + 2\sqrt{10}$，$x_{2}=6 - 2\sqrt{10}$。
(4)
解：移项得$3x^{2}-4x - 1=0$，
这里$a = 3$，$b=-4$，$c = - 1$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×3×(-1)=16 + 12 = 28$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{4\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$，
所以$x_{1}=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，$x_{2}=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。

1. 说出下列方程的根.
(1)$x(x - 8)=0$
(2)$(3x + 1)(2x - 5)=0$

答案： $1.(1)x₁=0,x₂=8;(2)x₁=- \frac{1}{3},x₂= \frac{5}{2}.$

2. 用因式分解法解下列方程.
(1)$x^{2}-4x=0$
(2)$4x^{2}-49=0$
(3)$(x + 1)^{2}=5x + 5$
(4)$x^{2}-6x + 9=(5 - 2x)^{2}$

答案： $2.(1)x₁=0,x₂=4;(2)x₁= \frac{7}{2},x₂=- \frac{7}{2};(3)x₁=-1,x₂=4;(4)x₁= \frac{8}{3},x₂=2.$