《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

变式：已知四边形 $ ABCD $ 内接于 $ \odot O $，$ \angle DAB = 90° $.
(1) 如图①，连接 $ BD $，若 $ \odot O $ 的半径为 $ 6 $，$ \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{AB} $，求 $ AB $ 的长度.
(2) 如图②，连接 $ AC $，若 $ AD = 5 $，$ AB = 3 $，对角线 $ AC $ 平分 $ \angle DAB $，求 $ AC $ 的长度.

答案：
(1) $6\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{65}$。

【例 2】如图，$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，弦 $ CD $ 交 $ AB $ 于点 $ E $，$ \angle ACD = 60° $，$ \angle ADC = 40° $. 求 $ \angle CEB $ 的度数.

答案： 连接BC。
∵∠ACD=60°，∠ADC=40°，
∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-60°-40°=80°。
∵∠ADC是圆周角，所对弧为AC，
∴弧AC的度数=2∠ADC=2×40°=80°。
∵AB是⊙O的直径，
∴弧AB的度数=180°，
∴弧CB的度数=弧AB-弧AC=180°-80°=100°。
∵∠CAB是圆周角，所对弧为CB，
∴∠CAB=1/2弧CB=1/2×100°=50°。
∵∠CEB是△ACE的外角，
∴∠CEB=∠CAB+∠ACD=50°+60°=110°。
答：∠CEB的度数为110°。

1. 如图，在 $ \odot O $ 的内接四边形 $ ABCD $ 中，$ \angle BOD = 120° $，那么 $ \angle BCD $ 是().


A.$ 120° $
B.$ 100° $
C.$ 80° $
D.$ 60° $

答案： 1 A

2. 如图，已知 $ \triangle ABC $ 的 $ 3 $ 个顶点在 $ \odot O $ 上，$ \angle BAC = 50° $，$ \angle ABC = 47° $，则 $ \angle AOB = $.

答案： 2 166°

3. 如图，已知 $ BD $ 是 $ \odot O $ 的直径，$ \odot O $ 的弦 $ AC \perp BD $ 于点 $ E $. 若 $ \angle AOD = 60° $，则 $ \angle DBC $ 的度数为.

答案： 3 30°

4. 如图，$ OA $，$ OB $，$ OC $ 都是 $ \odot O $ 的半径，$ \angle AOB = 2 \angle BOC $.
求证：$ \angle ACB = 2 \angle BAC $.

答案： 证明：
∵∠AOB和∠ACB分别是⊙O中弧AB所对的圆心角和圆周角，
∴∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB（圆周角定理）。
∵∠BOC和∠BAC分别是⊙O中弧BC所对的圆心角和圆周角，
∴∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC（圆周角定理）。
∵∠AOB = 2∠BOC，
∴∠ACB = $\frac{1}{2}$×2∠BOC = ∠BOC，
∴∠ACB = 2×$\frac{1}{2}$∠BOC = 2∠BAC。
即∠ACB = 2∠BAC。