《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

2. 点与圆的位置关系有3种：
当点在圆外时，$d ＞ r$；反过来，当时，点在圆外.
当点在圆上时，$d = r$；反过来，当时，点在圆上.
当点在圆内时，$d ＜ r$；反过来，当时，点在圆内.

答案： 第一个空：$d\gt r$；
第二个空：$d = r$；
第三个空：$d\lt r$。

【例】如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 2$，$BC = 4$，$CM$是$AB$边上的中线，以$C$为圆心、$\sqrt{5}$为半径作圆，试确定$A$，$B$，$M$三点分别与$\odot C$有怎样的位置关系，并说明理由.

答案： 解：
1. 点A与⊙C的位置关系

∵ $ AC = 2 $，⊙C半径 $ r = \sqrt{5} \approx 2.236 $，
且 $ 2 ＜ \sqrt{5} $，

∴ 点A在⊙C内。
2. 点B与⊙C的位置关系

∵ $ BC = 4 $，⊙C半径 $ r = \sqrt{5} \approx 2.236 $，
且 $ 4 ＞ \sqrt{5} $，

∴ 点B在⊙C外。
3. 点M与⊙C的位置关系
在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $。

∵ CM是AB边上的中线，

∴ $ CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} = \sqrt{5} $。

∵ $ CM = r = \sqrt{5} $，

∴ 点M在⊙C上。
结论：点A在⊙C内，点B在⊙C外，点M在⊙C上。

变式：如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 2$，$BC = 4$，$CM$是$AB$边上的中线，以$C$为圆心画圆，点$B$在圆外，点$M$在圆内.
(1) 求半径的取值范围.
(2) 试确定点$A$与$\odot C$有怎样的位置关系，并说明理由.

答案：
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4。
点B在⊙C外，
∴CB ＞ r，
∵CB=BC=4，
∴r ＜ 4。
CM是AB边上的中线，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(2²+4²)=√20=2√5，
∴CM=AB/2=√5（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）。
点M在⊙C内，
∴CM ＜ r，即√5 ＜ r。
综上，半径r的取值范围是√5 ＜ r ＜ 4。
(2) 点A在⊙C内。理由：CA=AC=2，由
(1)知r ＞ √5≈2.236，
∴CA=2 ＜ r，故点A在⊙C内。

1. 已知$\odot O$的半径为$2\mathrm{cm}$，点$P$到圆心$O$的距离为$4\mathrm{cm}$，则点$P$和$\odot O$的位置关系为(C).

A.点$P$在圆内
B.点$P$在圆上
C.点$P$在圆外
D.不能确定

答案： 1.C

2. 在平面直角坐标系中，点$P$的坐标为$(3,4)$，若$\odot P$经过原点，则点$(5,0)$与$\odot P$的位置关系是(A).

A.在圆内
B.在圆上
C.在圆外
D.不能确定

答案： 2.A

3. 点$P$是$\odot O$所在平面内一点，若$\odot O$的面积为$9\pi$，则当$OP$＞3时，点$P$一定在$\odot O$的外部.

答案： 3. $＞3$

4. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 6$，$AD = 8$，以顶点$A$为圆心作半径为$r$的圆，若要求另外3个顶点至少有1个在圆内，且至少有1个在圆外，则$r$的取值范围是6 ＜ r ＜ 10.

答案： 4. $6 ＜ r ＜ 10$

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 2\sqrt{5}$，$BC = 4$，点$D$是$AB$的中点. 若以点$D$为圆心、$r$为半径作$\odot D$，使点$B$在$\odot D$内，点$C$在$\odot D$外，试求$r$的取值范围.

答案： 5. $\sqrt{5} ＜ r ＜ \sqrt{13}$