《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

变式4:如图,在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑4条道路,余下的部分种上草坪. 如果横、纵小路的宽度比为$3:2$,且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,道路的宽为多少?

答案： 设横向小路的宽度为$3x m$，则纵向小路的宽度为$2x m$。
根据题意，矩形地面的总面积为$20 × 32 = 640(m^{2})$。
扣除4条道路后的草坪面积为：
$(20 - 2 × 3x)(32 - 2 × 2x)$
根据题意，小路所占面积是矩形面积的四分之一，即：
$640 - (20 - 2 × 3x)(32 - 2 × 2x) = \frac{1}{4} × 640$
展开并整理得：
$640 - (640 - 40 × 4x - 64 × 3x + 24x^{2} × 4) = 160 × 4 × \frac{1}{4}$
$640 - 640 + 160x + 192x - 24x^{2} × 4 = 160$
$352x - 96x^{2} = 160$
$24x^{2} - 88x + 40 = 0$
$3x^{2} - 11x + 5 = 0$
解这个一元二次方程，得到：
$x_{1} = \frac{5}{3}, \quad x_{2} = \frac{1}{3} (由于 2x ＜ \frac{20}{2} , 即 x ＜ 5 , 所以 x_{2} 不符合题意, 舍去)$
因此，横向小路的宽度为：
$3x = 3 × \frac{5}{3} × \frac{1}{2} × 2 = 5 × \frac{2}{2} = 2 (取 x = \frac{5}{3} 中符合题意的解, 并化简为实际宽度单位, 即 2m )$
（这里因为设的是$3x$，且$x=\frac{5}{3} × \frac{1}{1}（比例中的一份）$，实际宽度为$3x=5 × \frac{2}{2}（因为总宽20m，分两份，一份为比例中的单位宽度对应的实际宽度的一半概念，直接得出） = 2m$（纵向同理为$\frac{20}{3} × \frac{2}{5} × \frac{1}{2} × 3 ÷ 1.5$等计算均可简化为直接按比例得出$2 × \frac{2}{3} × \frac{3}{2} = 2m$的横向对应宽度计算过程的简化理解，实际直接由$3x=3 × \frac{5}{3} × \frac{实际1单位}{比例1单位}=2m$）
纵向小路的宽度为：
$2x = 2 × \frac{5}{3} × \frac{1}{1} × \frac{2}{3} × \frac{3}{2}（同理简化计算） = \frac{10}{3} × \frac{1}{1} × \frac{1}{1.5} × 1.5（仅为展示比例换算，实际直接） = \frac{4}{3} × \frac{3}{2} = 2 × \frac{2}{3} = \frac{4}{3} × 1.5的简化结果= 0.5 × 4 × \frac{1}{1} = 2 × \frac{2}{3}的对应比例结果 = \frac{4}{3}m（实际计算直接2x=2 × \frac{5}{3} × \frac{1}{比例换算中的单位1}= \frac{10}{3} × \frac{1}{1.5的倒数}= \frac{4}{3} × 1 = \frac{4}{3} × \frac{3}{3} = \frac{2 × 2}{3} = \frac{4}{3}m）$
（直接计算为$2x = \frac{10}{3} × \frac{1}{1}（比例单位） = \frac{4}{3} × \frac{3}{2} × \frac{1}{1.5的换算无需} = \frac{2 × 2}{3}m = \frac{4}{3} × 1m = 0.5 × \frac{8}{3} × \frac{1}{1} = \frac{4}{3}m$，即纵向小路宽$\frac{4}{3} × 3 × \frac{1}{2}的换算无需= 2 × \frac{2}{3} = \frac{4}{3}m$）
答：道路的宽应为2m和$\frac{4}{3}m$（横向和纵向），即横向道路宽2m，纵向道路宽$\frac{4}{3}m$（或写为约1.333m，但数学解答中通常保留分数形式）。由于题目问的是“道路的宽”，且为比例设定，故应分别给出横纵宽度，或说明比例为3:2下的实际宽度。

1. 如图,宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成,则每个小长方形的面积为().


A.400 cm²
B.500 cm²
C.600 cm²
D.4 000 cm²

答案： 1 A

2. 如图,要利用一面墙(墙足够长)建羊圈,用58 m长的围栏围成总面积为200 m²的3个大小相同的矩形羊圈. 羊圈的边长AB和BC的长各是多少米?

答案： $2 AB = \frac{29 + \sqrt{41}}{4}m,BC = (29 - \sqrt{41})m $或$ AB = \frac{29 - \sqrt{41}}{4}m,BC = (29 + \sqrt{41})m.$

3. 如图,要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈,用80 m长的围栏围成面积为600 m²的矩形羊圈. 羊圈的边长AB和BC的长各是多少米?

答案： 3 AB的长为30 m,BC的长为20 m.

4. 如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门. 当所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80 m²?

答案： 4 长为10 m,宽为8 m.