《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

一元二次方程的解法有哪几种？用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？

答案： 一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；条件是方程左边能分解成两个一次因式的乘积且右边为0。

1. 方程$x(x + 3)=0$的根是x₁=0,x₂=-3.

答案： 1.x₁=0,x₂=-3

2. 方程$2x(x - 2)=3(x - 2)$的根是x₁=2,x₂= \frac{3}{2}.

答案： $2.x₁=2,x₂= \frac{3}{2}$

3. 若$(2x + 3y)^{2}+4(2x + 3y)+4 = 0$，则$2x + 3y$的值为-2.

答案： 3.-2

4. 已知$y = x^{2}-6x + 9$，当$x =$3时，$y$的值为0；当$x =$0或6时，$y$的值为9.

答案： 4.3 0或6

5. 一元二次方程$(x + 4)(x - 5)=1$的根为(D).

A.$x = - 4$
B.$x = 5$
C.$x_{1}=-4$，$x_{2}=5$
D.以上结论都不对

答案： 5.D

6. 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？请改正过来.
解方程$(x - 5)(x + 2)=18$.
解：原方程化为$(x - 5)(x + 2)=3×6$， ①
由$x - 5 = 3$得$x = 8$， ②
由$x + 2 = 6$得$x = 4$， ③
所以原方程的解为$x_{1}=8$或$x_{2}=4$.

答案： 6.不正确,错误在第②步,x₁=7,x₂=-4.

7. 用因式分解法解下列方程.
(1)$x^{2}=\sqrt{2}x$
(2)$3x^{2}-6x=-3$
(3)$(x + 1)^{2}-25=0$
(4)$3x(x - 1)=2(1 - x)$
(5)$4x^{2}-4x + 1=x^{2}+6x + 9$

答案： $7.(1)x₁=0,x₂= \sqrt{2};(2)x₁=x₂=1;(3)x₁=4,x₂=-6;(4)x₁=1,x₂=- \frac{2}{3};(5)x₁=4,x₂=- \frac{2}{3}.$

8. (1)已知一个三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程$x^{2}-5x + 6 = 0$的一个根，则这个三角形的周长是11或12.

答案： 8.
(1)11或12

(2)已知一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边的长是方程$x^{2}-13x + 40 = 0$的根，则此三角形的周长为13.

答案： 8.
(2)13