《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例1】如图，在⊙O中，$\overset{\frown}{AB}$ = $\overset{\frown}{AC}$，∠ACB = 60°。
求证：∠AOB = ∠BOC = ∠AOC。

答案： 证明：
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∴AB=AC（等弧所对的弦相等），
∠AOB=∠AOC（等弧所对的圆心角相等）。
∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AB=BC。
∵AB=BC，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$（等弦所对的劣弧相等），
∴∠AOB=∠BOC（等弧所对的圆心角相等）。
∵∠AOB=∠AOC且∠AOB=∠BOC，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC。

变式：若一条弦的长度恰好为半径的长度，则此弦所对的弧是半圆的。

答案： $\frac{1}{3}$

【例2】如图，已知AB，CD为⊙O的两条弦，$\overset{\frown}{AD}$ = $\overset{\frown}{BC}$。
求证：AB = CD。

答案： 证明：
∵ $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{AD} + \overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{BD}$，
即 $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$。
∵ 在同圆中，等弧所对的弦相等，
∴ AB = CD。

变式1：如图，在⊙O中，AD = BC。
求证：DC = AB。

答案： 证明：
∵AD = BC，
∴弧AD = 弧BC（在同圆中，相等的弦所对的劣弧相等）。
∴弧AD + 弧AC = 弧BC + 弧AC，即弧DC = 弧AB。
∴DC = AB（在同圆中，相等的弧所对的弦相等）。
结论：DC = AB。

变式2：如图，在⊙O中，DC = AB。
求证：AD = BC。

答案： 证明：
∵在⊙O中，DC=AB，
∴弧DC=弧AB（在同圆中，相等的弦所对的弧相等）。
∴弧DC+弧AC=弧AB+弧AC，即弧AD=弧BC。
∴AD=BC（在同圆中，相等的弧所对的弦相等）。
结论：AD=BC。