《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

2. 正多边形的有关概念:
结合图形,给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念.
正n边形的中心角为,内角的度数为.

答案： $\frac{360^{\circ}}{n}$；$\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{n}$

3. 正多边形和圆有关的计算问题:

【归纳总结】正n边形的几条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形,每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形.

答案： （按照表格内容依次填写）$180^{\circ}$，$120^{\circ}$，6，$\sqrt{3}$，18，$9\sqrt{3}$；$360^{\circ}$，$90^{\circ}$，$\sqrt{2}$，2，8，4；$720^{\circ}$，$60^{\circ}$，2，12，$6\sqrt{3}$

【例】有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位).

答案： 解：
1. 求周长
正六边形的半径等于其边长，即边长 $ a = R = 4\,m $。
周长 $ C = 6a = 6 × 4 = 24.0\,m $。
2. 求面积
正六边形中心角 $ \theta = \frac{360°}{6} = 60° $，边心距 $ r $ 为中心到边的距离。
在 $ Rt\triangle OPC $ 中，$ OC = R = 4\,m $，$ PC = \frac{a}{2} = 2\,m $，
由勾股定理：$ r = \sqrt{R^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\,m $。
面积 $ S = 6 × \frac{1}{2} × a × r = 3 × 4 × 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \approx 24 × 1.732 \approx 41.6\,m^2 $。
结论：周长为 $ 24.0\,m $，面积为 $ 41.6\,m^2 $。

变式:如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O.
(1)若AC=2a,求AB的长度.
(2)若⊙O的内接正△ACE的面积为$48\sqrt{3}$,求正六边形的周长.

答案：
(1) $ \frac{2\sqrt{3}a}{3} $；
(2) 48

1. 中心角为45°的正n边形的边数n等于(C).

A.12
B.10
C.8
D.6

答案： 1.C

2. 如图,正五边形的ABCDE内接于⊙O,则正五边形的中心角∠COD的度数是(B).

A.76°
B.72°
C.60°
D.36°

答案： 2.B

3. 半径为5的圆内接正三角形的边心距为$\frac{5}{2}$.

答案： $3.\frac{5}{2}$

4. 如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,连接OC,OD. 若OC的长度为2cm,则正六边形ABCDEF的周长为12cm.

答案： 4.12

5. 已知正六边形ABCDEF如图所示,其外接圆的半径是a,求正六边形的周长和面积.

答案： 5.周长为6a，面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}。$