《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

6. 右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数是()。


A.$90^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： C

1. 如图，将三角尺$ABC$绕点$C$按逆时针方向旋转到$\triangle DEC$的位置，度量$\angle ACD$与$\angle BCE$的度数，线段$AC$与$DC$、线段$BC$与$EC$的长度。你发现了什么？

答案： 通过度量可得：
1. $\angle ACD = \angle BCE$；
2. $AC = DC$，$BC = EC$。
结论：图形旋转后，对应点与旋转中心的连线所成的角相等（都等于旋转角），对应线段相等。

2. 如图，将$\triangle ABC$绕点$O$按顺时针方向旋转到$\triangle A'B'C'$的位置，度量$\angle AOA'$，$\angle BOB'$，$\angle COC'$的度数以及线段$AO$与$A'O$、线段$BO$与$B'O$、线段$CO$与$C'O$的长度。你发现了什么？

答案： 通过度量可得：
1. $\angle AOA' = \angle BOB' = \angle COC'$；
2. $AO = A'O$，$BO = B'O$，$CO = C'O$。
结论：图形旋转时，对应点与旋转中心所连线段的长度相等，对应点与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角。

3. 将$\triangle ABC$经过旋转得到$\triangle A'B'C'$，所以$\triangle ABC$$\triangle A'B'C'$。

答案： ≌

4. 旋转的基本性质如下：
(1)旋转不改变图形的和。
(2)图形上的每一点都绕旋转中心沿方向转动了的角度。
(3)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角。
(4)对应点到旋转中心的距离。
(5)图形的旋转是由和决定的。

答案：
(1)形状 大小；
(2)相同 相等；
(4)相等；
(5)旋转中心 旋转方向 旋转角度

【例1】下列物体的运动属于旋转的有(填序号)。
①电梯的升降运动；②行驶中的汽车车轮的转动；③方向盘的转动；④骑自行车时车上的人；⑤坐在摩天轮里的小朋友。

答案： ②③⑤

【例2】如图，$Rt\triangle ABC$绕点$B$旋转得到$\triangle EBF$。在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是哪个点？旋转角是哪个角？
（2）经过旋转，点$A$，$C$分别移动到什么位置？
（3）$BC$与$BF$的长度有什么关系？
（4）若$\angle A = 90^{\circ}$，$\angle E$等于多少度？
（5）$\angle ABE$与$\angle CBF$的大小有何关系？

答案： （1）旋转中心是点$B$，旋转角是$\angle ABC$与$\angle EBF$（或答$\angle ABE$，合理即可）。
（2）点$A$移动到点$E$的位置，点$C$移动到点$F$的位置。
（3）$BC = BF$。
（4）因为$Rt\triangle ABC$绕点$B$旋转得到$\triangle EBF$，所以$\triangle ABC\cong\triangle EBF$，$\angle E=\angle A = 90^{\circ}$。
（5）$\angle ABE=\angle CBF$。

【例3】如图，四边形$ABCD$是边长为1的正方形，且$DE=\frac{1}{4}$，$\triangle ABF$是由$\triangle ADE$旋转得到的。
（1）旋转中心是哪个点？
（2）旋转了多少度？
（3）$AF$的长度是多少？
（4）如果连接$EF$，那么$\triangle AEF$是怎样的三角形？

答案： （1）旋转中心是点$A$。
（2）旋转了$90°$（或$270°$，但通常取正方向$90°$）。
（3）由于$\triangle ABF$由$\triangle ADE$旋转得到，$AD = AB = 1$，$AE = AF$，且$\angle DAE=\angle BAF$。
在$Rt\triangle ADE$中，$AD = 1$，$DE=\frac{1}{4}$，根据勾股定理$AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\frac{1}{4})^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{17}{16}}=\frac{\sqrt{17}}{4}$，所以$AF=\frac{\sqrt{17}}{4}$。
（4）因为$\triangle ABF$是由$\triangle ADE$旋转得到的，所以$\triangle ABF\cong\triangle ADE$，则$AE = AF$，$\angle DAE=\angle BAF$。
$\angle DAB = 90^{\circ}$，即$\angle DAE+\angle BAE = 90^{\circ}$，所以$\angle BAF+\angle BAE=\angle EAF = 90^{\circ}$。
所以$\triangle AEF$是等腰直角三角形。