《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例】将抛物线 $ y = 3x^2 - 1 $ 向上平移 4 个单位长度后, 所得抛物线是, 当 $ x = $时, 该抛物线有最(填“大”或“小”)值, 是.

答案： $y=3x^2+3$; 0; 小; 3

变式 1: 将抛物线 $ y = 3x^2 - 1 $ 向上平移 4 个单位长度, 所得抛物线是, 再向下平移 2 个单位长度, 可得到抛物线.

答案： 将抛物线 $ y = 3x^2 - 1 $ 向上平移 4 个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，在函数表达式后直接加上平移的单位长度，所得抛物线为：
$ y = 3x^2 - 1 + 4 = 3x^2 + 3 $
再将此抛物线向下平移 2 个单位长度，同样根据“上加下减”的规律，在表达式后减去平移的单位长度，可得到抛物线：
$ y = 3x^2 + 3 - 2 = 3x^2 + 1 $
答案依次为：$ y = 3x^2 + 3 $；$ y = 3x^2 + 1 $

变式 2: 将抛物线 $ y = 3x^2 - 1 $ 向平移个单位长度, 可得到抛物线 $ y = 3x^2 + \frac{9}{2} $.

答案： 设抛物线 $y = 3x^{2} - 1$ 向上平移 $N$ 个单位长度后得到抛物线 $y = 3x^{2} + \frac{9}{2}$。
根据平移规律，平移后的抛物线方程可以表示为：
$y = 3x^{2} - 1 + N$，
由于平移后的抛物线方程为 $y = 3x^{2} + \frac{9}{2}$，可以将两个方程进行比较，得到：
$-1 + N = \frac{9}{2}$，
解这个方程，得到：
$N = \frac{9}{2} + 1 = \frac{11}{2}$。
故答案为：上；$\frac{11}{2}$。

1. 对于函数 $ y = -x^2 + 1 $, 当$x＜0$时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大; 当$x＞0$时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小; 当$x=0$时, $ y $ 取得最大值, 为1.

答案： 1.$x＜0$ $x＞0$ $x=0$ 大 1

2. (1) 已知抛物线 $ y = 2x^2 - 1 $ 上有两点 $ (x_1, y_1) $, $ (x_2, y_2) $, 且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $, 则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系是(C).
A. $ y_1 ＜ y_2 $
B. $ y_1 = y_2 $
C. $ y_1 ＞ y_2 $
D. 不能确定
(2) 若 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 0 $, 其他条件不变, 则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系为$y_{1}＜y_{2}$.
(3) 若 $ x_1 ＜ x_2 $, 其他条件不变, 则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系为不能确定.

答案： 2.
(1)C
(2)$y_{1}＜y_{2}$
(3)不能确定

3. 在同一直角坐标系中, 一次函数 $ y = ax + k $ 和二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象大致为(D).

答案： 3.D

1. 抛物线 $ y = 4x^2 - 1 $ 与 $ x $ 轴的交点坐标为$(\frac{1}{2},0)$ $(-\frac{1}{2},0)$, 与 $ y $ 轴的交点坐标为$(0,-1)$.

答案： 1.$(\frac{1}{2},0)$ $(-\frac{1}{2},0)$ $(0,-1)$

2. 已知抛物线 $ y = ax^2 + k $ 如图所示, 两条抛物线与分别过 $ (-2, 0) $, $ (2, 0) $ 且与平行于 $ y $ 轴的两条直线围成的阴影部分的面积为8.

答案： 2.8

3. (1) 若将抛物线 $ y = ax^2 + k $ 与 $ y = 2x^2 $ 的形状相同, 开口方向相反, 且顶点坐标为 $ (0, -3) $, 则该抛物线的函数表达式是$y = -2x^{2}-3$.
(2) 若抛物线 $ y = ax^2 + k $ 向上平移 2 个单位长度后得到的抛物线的函数表达式为 $ y = -0.5x^2 - 1 $, 则 $ a = $$-0.5$, $ k = $$-3$.
(3) 若抛物线 $ y = ax^2 + k $ 的最小值为 4, 且经过点 $ (1, 5) $, 则该抛物线的函数表达式是$y = x^{2}+4$. 将抛物线 $ y = ax^2 + k $ 向下平移 3 个单位长度, 得到的新抛物线的函数表达式是$y = x^{2}+1$.

答案： 3.
(1)$y = -2x^{2}-3$
(2)$-0.5$ $-3$
(3)$y = x^{2}+4$ $y = x^{2}+1$