《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

2. 已知抛物线过点 $ A(2,0) $，$ B(-1,0) $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，且 $ OC = 2 $，则这条抛物线的解析式为$y = x^2 - x - 2$或$y = -x^2 + x + 2$.

答案： 2.$y = x^2 - x - 2$或$y = -x^2 + x + 2$

3. 如图，已知二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象经过点 $ (-1,0) $，$ (1,-2) $. 当 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大时，$ x $ 的取值范围是$x ＞ \frac{1}{2}$.

答案： 3.$x ＞ \frac{1}{2}$

4. 如图，抛物线 $ y = -(x - 1)^2 + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $（$ A $，$ B $ 分别在 $ y $ 轴的左、右两侧）两点，与 $ y $ 轴的正半轴交于点 $ C $，顶点为 $ D $，已知 $ A(-1,0) $.
(1) 求点 $ B $，$ C $ 的坐标.
(2) 判断 $ \triangle CDB $ 的形状，并说明理由.

答案： 4.
(1)$B(3,0)$，$C(0,3)$；
(2)$\triangle CDB$是直角三角形,理由略.

5. 如图，直线 $ y = x + 2 $ 与抛物线 $ y = 2x^2 - 8x + 6 $ 相交于点 $ A $ 和 $ B $，点 $ P $ 是线段 $ AB $ 上异于 $ A $，$ B $ 的动点，过点 $ P $ 作 $ PC \perp x $ 轴于点 $ D $，交抛物线于点 $ C $. 是否存在这样的点 $ P $，使线段 $ PC $ 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

答案： 5.解：解方程组$\begin{cases} y = x + 2, \\ y = 2x^2 - 8x + 6 \end{cases}$得$\begin{cases} x = \frac{1}{2}, \\ y = \frac{5}{2} \end{cases}$或$\begin{cases} x = 4, \\ y = 6, \end{cases}$
$\therefore A$为$(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$，$B$为$(4,6)$.
设点$P$的坐标为$(n,n + 2)$，则点$C$的坐标为$(n,2n^2 - 8n + 6)$，
$\therefore PC = (n + 2) - (2n^2 - 8n + 6)$
$= -2n^2 + 9n - 4(\frac{1}{2} ＜ n ＜ 4)$，
$\because n = - \frac{b}{2a} = \frac{9}{4}$，
$\therefore$当$n = \frac{9}{4}$时,$PC$有最大值,最大值为$\frac{49}{8}$.

6. 如图，已知抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，$ OB = OC = 3 $.
(1) 求抛物线的解析式.
(2) 若点 $ Q $ 在抛物线上，使得 $ \triangle ABC $ 的面积与 $ \triangle ABQ $ 的面积相等，求点 $ Q $ 的坐标.
(3) 抛物线的对称轴上是否存在点 $ P $，使得 $ \triangle PAC $ 的周长最小？若存在，求出点 $ P $ 的坐标及 $ \triangle PAC $ 周长最小值；若不存在，说明理由.
(4) 在直线 $ BC $ 上方的抛物线上有动点 $ E $，当 $ \triangle EBC $ 面积最大时，求出点 $ E $ 的坐标与 $ \triangle EBC $ 面积的最大值.

答案： 6.
(1)$y = -x^2 - 2x + 3$；
(2)$Q(-2,3)$或$(-1 + \sqrt{7}, -3)$或$(-1 - \sqrt{7}, -3)$；
(3)存在,$Q(-1,2)$,$\triangle PAC$周长最小值为$3\sqrt{2} + \sqrt{10}$；
(4)存在,$E(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$,$\triangle EBC$的面积最大值为$\frac{27}{8}$.