《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，AC = 13 cm，AB = 5 cm，⊙O内切于△ABC。求⊙O的半径。

答案： 在$Rt \bigtriangleup ABC$中，由勾股定理，得
$BC = \sqrt{AC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12(cm)$。
设$\odot O$的半径为$r$，根据三角形内切圆的性质（内切圆半径$r$与三角形的两边$a,b$及夹角所对的边$c$的关系：$r=\frac{a + b - c}{2}× \sin C$（此公式可通过面积法推导，对于直角三角形可简化为$r=\frac{a + b - c}{2}$），在本题直角三角形中）可得：
$r = \frac{AB + BC - AC}{2} = \frac{5 + 12 - 13}{2} = 2(cm)$。
故$\odot O$的半径为$2cm$。

【例2】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB = 9，BC = 14，CA = 13。求AF，BD，CE的长度。

答案： AF=4，BD=5，CE=9。