《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

(3)已知一个等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程$x^{2}-7x + 10 = 0$的两根，则该等腰三角形的周长是12.

答案： 8.
(3)12

1. 如何用判别式 $ b^{2} - 4ac $ 来判断一元二次方程根的情况？

答案： 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。

2. 一元二次方程的求根公式是什么？

答案： $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$（$a\neq0$，$b^2 - 4ac \geq 0$）

3. 一元二次方程的一般形式为 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $，根据求根公式可得 $ x_{1} = $，$ x_{2} = $，由此可得 $ x_{1} + x_{2} = $，$ x_{1} \cdot x_{2} = $.
因此，方程的两个根 $ x_{1},x_{2} $ 和系数 $ a,b,c $ 的关系为 $ x_{1} + x_{2} = $，$ x_{1} \cdot x_{2} = $.

答案： $\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；$-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$；$-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$

4. 自学教材第 16 页例 4，然后回答问题.
不解方程，求下列方程两根的和与积.
(1) $ x^{2} + 3x = 0 $
(2) $ x^{2} + 3x - 5 = 0 $
(3) $ x^{2} - 2x - 3 = 0 $

答案：
(1) 对于方程 $x^{2} + 3x = 0$，
由一元二次方程的标准形式 $ax^{2} + bx + c = 0$，
这里 $a = 1, b = 3, c = 0$。
根据根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = -3$，
$x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = 0$。
(2) 对于方程 $x^{2} + 3x - 5 = 0$，
这里 $a = 1, b = 3, c = -5$。
根据根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = -3$，
$x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = -5$。
(3) 对于方程 $x^{2} - 2x - 3 = 0$，
这里 $a = 1, b = -2, c = -3$。
根据根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = 2$，
$x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = -3$。

1. 解下列方程.
(1) $ x^{2} - 2x = 0 $
(2) $ x^{2} + 3x - 4 = 0 $
(3) $ x^{2} - 5x + 6 = 0 $

答案：
(1)
解：$x(x - 2)=0$
由$x = 0$或$x - 2 = 0$，
得$x_{1}=0$，$x_{2}=2$。
(2)
解：对于方程$x^{2}+3x - 4 = 0$，
因式分解得$(x + 4)(x - 1)=0$
由$x + 4 = 0$或$x - 1 = 0$，
得$x_{1}=-4$，$x_{2}=1$。
(3)
解：对于方程$x^{2}-5x + 6 = 0$，
因式分解得$(x - 2)(x - 3)=0$
由$x - 2 = 0$或$x - 3 = 0$，
得$x_{1}=2$，$x_{2}=3$。

2. 将上面得到的解填入下面的表格中. 你发现表格中两个解的和与积与原来的方程有什么联系？

答案： |方程| $x_1$ | $x_2$ | $x_1 + x_2$ | $x_1 \cdot x_2$ |
|----|----|----|----|----|
| $x^2 - 2x = 0$ | 0 | 2 | 2 | 0 |
| $x^2 + 3x - 4 = 0$ | -4 | 1 | -3 | -4 |
| $x^2 - 5x + 6 = 0$ | 2 | 3 | 5 | 6 |
发现：一元二次方程 $x^2 + px + q = 0$ 的两根之和为$-p$，两根之积为$q$。

3. 设方程 $ x^{2} + px + q = 0 $ 的两根为 $ x_{1},x_{2} $，则有 $ x_{1} + x_{2} = $，$ x_{1} \cdot x_{2} = $.

答案： $-p$，$q$