《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 指出下列方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1) $1 - 2x^{2} = 0$
(2) $3x^{2} = 4x$

答案：
(1) 二次项系数 $-2$，一次项系数 $0$，常数项 $1$；
(2) 二次项系数 $3$，一次项系数 $-4$，常数项 $0$。（按题目顺序）

2. 若方程 $(m + 2)x^{\vert m\vert} + 3mx + 1 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则 $m$ 的值为。

答案： $2$（或 对应选项（如果有的话））

3. 一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿。这个醉汉一试，不多不少刚好进去了。你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程，整理成一般形式为。

答案： $(x - 4)^2 + (x - 2)^2 = x^2$；$x^2 - 12x + 20 = 0$

5. 一元一次方程的根有几个？一元二次方程的根也只有1个吗？若不止1个，请举例说明。

答案： 一元一次方程的根有1个。
一元二次方程的根不一定只有1个，有三种情况：
当判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$时，有两个不相等的实数根，例如方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，根为$x_1 = 1$，$x_2 = 2$；
当判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$时，有两个相等的实数根，例如方程$x^2 - 2x + 1 = 0$，根为$x_1 = x_2 = 1$；
当判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$时，没有实数根，例如方程$x^2 + x + 1 = 0$。

1. 由“课前预习”中有关“执竿进屋”的问题，我们得到方程 $x^{2} - 12x + 20 = 0$。列表、填空：

2. 上述问题中的一元二次方程的解是什么？若抛开实际问题，该问题还有其他解吗？

答案： 将 $x$ 的值依次代入 $x^{2}-12x + 20$ 计算：当 $x = 1$ 时，$x^{2}-12x + 20=1^{2}-12×1 + 20=1 - 12 + 20 = 9$；当 $x = 2$ 时，$x^{2}-12x + 20=2^{2}-12×2 + 20=4-24 + 20 = 0$；当 $x = 3$ 时，$x^{2}-12x + 20=3^{2}-12×3 + 20=9-36 + 20 = -7$；当 $x = 4$ 时，$x^{2}-12x + 20=4^{2}-12×4 + 20=16-48 + 20 = -12$；当 $x = 5$ 时，$x^{2}-12x + 20=5^{2}-12×5 + 20=25-60 + 20 = -15$；当 $x = 6$ 时，$x^{2}-12x + 20=6^{2}-12×6 + 20=36-72 + 20 = -16$；当 $x = 8$ 时，$x^{2}-12x + 20=8^{2}-12×8 + 20=64-96 + 20 = -12$；当 $x = 9$ 时，$x^{2}-12x + 20=9^{2}-12×9 + 20=81-108 + 20 = -7$；当 $x = 10$ 时，$x^{2}-12x + 20=10^{2}-12×10 + 20=100-120 + 20 = 0$；当 $x = 11$ 时，$x^{2}-12x + 20=11^{2}-12×11 + 20=121-132 + 20 = 9$。填表如下：| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10 | 11 |$\cdots$|| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- || $x^{2}-12x + 20$ | 9 | 0 | -7 | -12 | -15 | -16 | -12 | -7 | 0 | 9 |$\cdots$|
@@解$:x²-12x+20=0$　　$(x-10)(x-2)=0$　　$x=10,x=2$　　有其他解。

3. 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值。
回过头来看：$x^{2} - 12x + 20 = 0$ 有两个根，一个是2，另一个是10，都满足方程。有时由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的解，还要考虑这些根是否符合实际问题的意义。
思考：$x = 2$ 和 $x = 10$ 都是实际问题的解吗？
注意：一元一次方程的解不会多于一个，但一元二次方程可能有两个解。这是二者的不同之处。

答案： 对于方程$x^{2} - 12x + 20 = 0$，其解为$x = 2$和$x = 10$。
在实际问题中，需判断这两个解是否均符合题意。
若实际问题背景要求解在特定范围内（如长度、数量等必须为正且符合实际条件），则：
当$x = 2$符合实际问题的合理范围时，为解；
当$x = 10$同样符合实际问题的合理范围时，也为解；
若其中某一解不符合实际意义（如结果为负数或超出实际可能值），则需舍弃。
因此，$x = 2$和$x = 10$是否均为实际问题的解，取决于实际问题的背景限制。若均符合，则均为解；若其一不符合，则需舍弃不符合的解。