《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

6. 阅读下面的材料,并解答下列问题.
我们把相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫作相似体.如图,甲、乙是两个不同的正方体,正方体都是相似体,它们的一切对应线段之比都等于相似比$(a:b)$.
设$S_{甲},S_{乙}$分别表示这两个正方体的表面积,则$\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{6a^2}{6b^2}=(\frac{a}{b})^2$.
又设$V_{甲},V_{乙}$分别表示这两个正方体的体积,则$\frac{V_{甲}}{V_{乙}}=\frac{a^3}{b^3}=(\frac{a}{b})^3$.

(1)下列几何体中,一定属于相似体的是(A).
A. 两个球体
B. 两个锥体
C. 两个圆柱体
D. 两个长方体
(2)请归纳出相似体的3条主要性质:
①相似体的一切对应线段(或弧)的比等于相似比;②相似体的表面积的比等于相似比的平方;③相似体的体积比等于相似比的立方.
(3)假定在完全正常发育的条件下,不同时期的同一人的人体是相似体.一个小朋友上幼儿园时身高为$1.1$米,体重为$18$千克,到了初三时,身高为$1.65$米.问:他在初三时的体重是多少? (不考虑不同时期人体平均密度的变化.)

答案： 6.
(1)A
(2)相似比 相似比的平方 相似比的立方
(3)由题意知他的体积比为$(\frac{1.1}{1.65})^3$.
因为体重之比等于体积比，
若设初三时的体重为$x$千克，
则有$(\frac{1.1}{1.65})^3 = \frac{18}{x}$，
解得$x = \frac{243}{4} = 60.75$.
答：初三时的体重为60.75千克.

1. 相似多边形的主要特征是什么？

答案： 对应角相等，对应边成比例