《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例 1】一个扇形的半径为 $ 3 \, cm $,圆心角为 $ 40^{\circ} $,那么这个扇形的弧长为().

A.$ \dfrac{2}{3}\pi \, cm $
B.$ \dfrac{\pi}{3} \, cm $
C.$ \pi \, cm $
D.$ \dfrac{4}{3}\pi \, cm $

答案： A

变式:一个扇形的半径为 $ 3 \, cm $,弧长为 $ \dfrac{2}{3}\pi \, cm $,那么这个扇形的圆心角是多少?

答案： $40^{\circ}$

【例 2】如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为 $ 0.6 \, m $,其中水面高 $ 0.3 \, m $. 求截面上有水部分的面积(精确到 $ 0.01 \, m^2 $).

答案： 解：由题意，圆的半径 $ r = 0.6 \, m $，水面高 $ CD = 0.3 \, m $，圆心 $ O $ 到水面 $ AB $ 的距离 $ OD = OC - CD = 0.6 - 0.3 = 0.3 \, m $。
在 $ Rt\triangle OAD $ 中，$ OA = 0.6 \, m $，$ OD = 0.3 \, m $，则：
$\cos\angle AOD = \frac{OD}{OA} = \frac{0.3}{0.6} = 0.5 \implies \angle AOD = 60°$
故圆心角 $ \angle AOB = 2\angle AOD = 120° $。
扇形 $ OACB $ 的面积：
$S_{扇形} = \frac{n\pi r^2}{360} = \frac{120\pi × 0.6^2}{360} = 0.12\pi \, m^2$
三角形 $ OAB $ 的面积：
$AD = \sqrt{OA^2 - OD^2} = \sqrt{0.6^2 - 0.3^2} = \frac{3\sqrt{3}}{10} \, m \implies AB = 2AD = \frac{3\sqrt{3}}{5} \, m$
$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} × AB × OD = \frac{1}{2} × \frac{3\sqrt{3}}{5} × 0.3 = 0.09\sqrt{3} \, m^2$
有水部分面积（弓形面积）：
$S = S_{扇形} - S_{\triangle OAB} = 0.12\pi - 0.09\sqrt{3}$
代入 $ \pi \approx 3.1416 $，$ \sqrt{3} \approx 1.732 $：
$S \approx 0.12 × 3.1416 - 0.09 × 1.732 \approx 0.377 - 0.156 = 0.221 \approx 0.22 \, m^2$
答：截面上有水部分的面积约为 $ 0.22 \, m^2 $。

1. 如图,圆形挂钟分针针尖到圆心的距离为 $ 10 \, cm $,经过 $ 35 \, min $,分针针尖转过的弧长是().

A.$ \dfrac{25}{6}\pi \, cm $
B.$ \dfrac{25}{3}\pi \, cm $
C.$ \dfrac{35}{6}\pi \, cm $
D.$ \dfrac{35}{3}\pi \, cm $

答案： 1.D

2. 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$\overset{\LARGE{\frown}}{AC} = 3\overset{\LARGE{\frown}}{BC}$,则 $ \angle BAC $ 的度数为().

A.$ 22.5^{\circ} $
B.$ 30^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 67.5^{\circ} $

答案： 2.A

3. 已知水平放置的半径为 $ 6 \, cm $ 的球形容器中装有溶液,容器内液面的面积为 $ 27\pi \, cm^2 $.如图是该球体的一个最大纵截面图,则该截面 $ \odot O $ 中阴影部分的弧长为().


A.$ 2\pi \, cm $
B.$ 4\pi \, cm $
C.$ 6\pi \, cm $
D.$ 8\pi \, cm $

答案： 3.B

4. 如图,若 $ \odot O $ 的半径为 $ 9\sqrt{3} $,$\overset{\LARGE{\frown}}{AB} = \overset{\LARGE{\frown}}{AC}$,$ \angle APC = 60^{\circ} $,$ \angle BCP = 40^{\circ} $,则$\overset{\LARGE{\frown}}{PA}$的长为.

答案： $4.2\sqrt{3}\pi$

5. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AC = BC = 4 $,以 $ BC $ 为直径作半圆 $ O $,交 $ AB $ 于点 $ D $,则阴影部分的面积是.

答案： $5.6 - \pi$