《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

4. 如图，MN为⊙O的弦，∠OMN = 35°，那么∠MON的度数为110°。

答案： 4.110°

5. 如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE//AB，$\overset{\frown}{CE}$的度数为40°，则∠AOC的度数为70°。

答案： 5.70°

6. 如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BD//OC。
求证：$\overset{\frown}{AC}$ = $\overset{\frown}{CD}$。

答案： 证明：
∵ BD//OC，
∴ ∠AOC = ∠OBD（两直线平行，同位角相等），
∠COD = ∠ODB（两直线平行，内错角相等）。
∵ OB = OD（同圆半径相等），
∴ ∠OBD = ∠ODB（等边对等角）。
∴ ∠AOC = ∠COD。
∴ $\overset{\frown}{AC}$ = $\overset{\frown}{CD}$（在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。

7. 如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB = CD。
求证：CE = BE。

答案： 证明：
1.
∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD（同圆中，相等的弦所对的劣弧相等）。
2.
∵弧AB-弧BC=弧CD-弧BC，
∴弧AC=弧BD。
3.
∵弧AC=弧BD，
∴∠ABC=∠BCD（同圆中，相等的弧所对的圆周角相等）。
4. 在△EBC中，∠EBC=∠ECB（∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD）。
5.
∴CE=BE（等角对等边）。
结论：CE=BE。

8. 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，BE交AD于点F，且$\overset{\frown}{AB}$ = $\overset{\frown}{AE}$。
求证：AF = BF。

答案： 证明：
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴$∠ACB=∠ABE$（同圆中，等弧所对的圆周角相等）．
∵BC是$\odot O$的直径，
∴$∠BAC=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∴$∠ABC+∠ACB=90°$．
∵$AD⊥BC$，
∴$∠ADB=90°$，
∴$∠ABC+∠BAD=90°$（直角三角形两锐角互余）．
∴$∠BAD=∠ACB$（同角的余角相等）．
又
∵$∠ACB=∠ABE$，
∴$∠BAD=∠ABE$（等量代换）．
在$\triangle ABF$中，$∠BAF=∠ABF$，
∴$AF=BF$（等角对等边）．
结论：$AF=BF$．