《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

2. 用描点法画出 $ y = x^2 $ 的图象.
(1) 列表如下：

(2) 描点、连线：

(3) 归纳：二次函数 $ y = x^2 $ 的图象是一条，开口向，对称轴是，顶点坐标为. 当 $ x = 0 $ 时，函数有最值，图象有最点. 当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而；当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而.

答案：
解:
(2)

(3)抛物线；上；y轴；(0,0)；小；低；增大；减小

【例 1】在同一平面直角坐标系中画出函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 $，$ y = x^2 $，$ y = 2x^2 $ 的图象.
(1) 列表：

(2) 描点、连线：

(3) 观察并填表：

思考：当 $ a ＞ 0 $ 时，二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象有什么特点？

答案：
解:
(1)列表：
|x|...|-3|-2|-1|0|1|2|3|...|
|$y=\frac{1}{2}x^2$|...|$\frac{9}{2}$|2|$\frac{1}{2}$|0|$\frac{1}{2}$|2|$\frac{9}{2}$|...|
|$y=x^2$|...|9|4|1|0|1|4|9|...|
|$y=2x^2$|...|18|8|2|0|2|8|18|...|
(2)描点、连线：

(3)观察并填表：
|抛物线|$y=x^2$|$y=\frac{1}{2}x^2$|$y=2x^2$|
|开口方向|向上|向上|向上|
|顶点坐标|(0,0)|(0,0)|(0,0)|
|对称轴|y轴|y轴|y轴|
思考：当$a＞0$时，二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，当$x＞0$时，y随x的增大而增大；当$x＜0$时，y随x的增大而减小；当$x=0$时，y有最小值0。

【例 2】请在例 1 的坐标系中画出函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $，$ y = -x^2 $，$ y = -2x^2 $ 的图象.

思考：比较函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $，$ y = -x^2 $，$ y = -2x^2 $ 的图象，找出它们的异同点.

答案： 填表如下：
| $x$ | $\cdots$ | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = -\frac{1}{2}x^2$ | $\cdots$ | -4.5 | -2 | -0.5 | 0 | -0.5 | -2 | -4.5 | $\cdots$ |
| $y = -x^2$ | $\cdots$ | -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 | $\cdots$ |
| $y = -2x^2$ | $\cdots$ | -18 | -8 | -2 | 0 | -2 | -8 | -18 | $\cdots$ |
根据表格数据，画出函数图象（图象略）。
异同点：
相同点：
抛物线开口向下。
抛物线的顶点都是原点$(0,0)$，对称轴都是$y$轴。
不同点：
$y = -\frac{1}{2}x^2$的抛物线开口最大，$y = -2x^2$的抛物线开口最小。