《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例1】通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分散.学生注意力指标数 $ y $ 随时间 $ x $ (分)变化的函数图象如图所示 ($ y $ 越大表示学生注意力越集中).当 $ 0 \leq x \leq 10 $ 时,图象是抛物线的一部分,当 $ 10 \leq x \leq 20 $ 和 $ 20 \leq x \leq 40 $ 时,图象是线段.
(1)当 $ 0 \leq x \leq 10 $ 时,求注意力指标数 $ y $ 与时间 $ x $ 的函数关系式.
(2)一道数学竞赛题需要讲解24分钟,老师能否经过适当安排,使学生在听这道题时注意力的指标数都不低于36?

答案：
(1)设当$0 \leq x \leq 10$时，$y = ax^2 + bx + c$。
由图象知，抛物线过$(0,20)$，$(5,39)$，$(10,48)$。
代入$(0,20)$得$c = 20$。
代入$(5,39)$：$25a + 5b + 20 = 39$，即$25a + 5b = 19$ ①
代入$(10,48)$：$100a + 10b + 20 = 48$，即$100a + 10b = 28$，化简得$50a + 5b = 14$ ②
② - ①得$25a = -5$，$a = -0.2$。
代入①：$25(-0.2) + 5b = 19$，$5b = 24$，$b = 4.8$。
故$y = -0.2x^2 + 4.8x + 20$。
(2)分三段求函数：
$10 \leq x \leq 20$：线段过$(10,48)$，$(20,48)$，$y = 48$。
$20 \leq x \leq 40$：设$y = mx + n$，过$(20,48)$，$(40,20)$。
$20m + n = 48$，$40m + n = 20$，解得$m = -1.4$，$n = 76$，故$y = -1.4x + 76$。
要使24分钟内$y \geq 36$：
$0 \leq x \leq 10$：令$-0.2x^2 + 4.8x + 20 \geq 36$，解得$4 \leq x \leq 20$。
$10 \leq x \leq 20$：$y = 48 \geq 36$。
$20 \leq x \leq 40$：令$-1.4x + 76 \geq 36$，解得$x \leq \frac{200}{7} \approx 28.57$。
取时间段$[4,28]$（24分钟），此时$y \geq 36$。
能。
(1)$y = -0.2x^2 + 4.8x + 20$
(2)能

变式:善于不断改进学习方法的小迪发现,对解题进行回顾反思,学习效果更好.某一天,小迪有20分钟时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间 $ x $ (分钟)与学习收益量 $ y $ 的关系如图①所示,用于回顾反思的时间 $ x $ (分钟)与学习收益量 $ y $ 的关系如图②所示(其中 $ OA $ 是抛物线的一部分, $ A $ 为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.
(1)求小迪解题的学习收益量 $ y $ 与用于解题的时间 $ x $ 之间的函数关系式.
(2)求小迪回顾反思的学习收益量 $ y $ 与用于回顾反思的时间 $ x $ 的函数关系式.
(3)小迪如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这20分钟的学习收益总量最大?

答案：
(1) 设解题的学习收益量 $ y $ 与时间 $ x $ 的函数关系式为 $ y=kx $，由图①过点 $ (1,2) $，得 $ 2=k × 1 $，即 $ k=2 $。故函数关系式为 $ y=2x $。
(2) 当 $ 0 \leq x \leq 4 $ 时，设抛物线解析式为 $ y=a(x-4)^2+16 $，因过原点 $ (0,0) $，代入得 $ 0=a(0-4)^2+16 $，解得 $ a=-1 $，故 $ y=-(x-4)^2+16=-x^2+8x $；当 $ 4 ＜ x \leq 10 $ 时，由图②知收益量不变，故 $ y=16 $。综上，$ y=\begin{cases} -x^2+8x & (0 \leq x \leq 4) \\ 16 & (4 ＜ x \leq 10) \end{cases} $。
(3) 设回顾反思时间为 $ t $ 分钟，则解题时间为 $ 20-t $ 分钟，且 $ t \leq 20-t $，即 $ t \leq 10 $。总收益 $ Y=2(20-t)+y_{反思}(t) $。
当 $ 0 \leq t \leq 4 $ 时，$ Y=2(20-t)+(-t^2+8t)=-t^2+6t+40 $，对称轴 $ t=3 $，此时 $ Y_{max}=-(3)^2+6 × 3 +40=49 $。
当 $ 4 ＜ t \leq 10 $ 时，$ Y=2(20-t)+16=56-2t $，随 $ t $ 增大而减小，最大值为 $ t=4 $ 时 $ Y=48 $。
因 $ 49＞48 $，故当 $ t=3 $ 时，总收益最大，此时解题时间 $ 20-3=17 $ 分钟。
综上，解题17分钟，回顾反思3分钟，收益总量最大。
(1) $ y=2x $
(2) $ y=\begin{cases} -x^2+8x & (0 \leq x \leq 4) \\ 16 & (4 ＜ x \leq 10) \end{cases} $
(3) 解题17分钟，回顾反思3分钟。