《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 如图，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成. 下列选项中的三角形(阴影部分)与$\triangle A B C$相似的是(A).

答案： 1. A

2. 如图，$A B \cdot A E = A D \cdot A C$，且$\angle 1 = \angle 2$.
求证：$\triangle A B C \backsim \triangle A D E$.

答案： 2. 提示：将乘积式转化为比例式，利用两边对应成比例，夹角相等，得到三角形相似.

3. 如图，$D$，$E$分别为$A B$，$A C$上两点，且$A D = 5 , B D = 3 , A E = 4 , C E = 6$.
(1)求证：$\triangle A D E \backsim \triangle A C B$；
(2)求证：$\angle A D E = \angle C$.

答案： 3. 提示：
(1)由$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}，$$\angle A = \angle A$得到三角形相似.
(2)由三角形相似，得对应角相等.

4. 如图，点$P$为$\triangle A B C$的中线$A D$上的一点，且$B D ^ { 2 } = P D \cdot A D$.
求证：$\triangle A D C \backsim \triangle C D P$.

答案： 4. 提示：将乘积式转化为比例式，由中线定义得到BD = CD，字母替换，利用“两边对应成比例，夹角相等”得到三角形相似.

5. 如图，点$C$，$D$在线段$A B$上，且$\triangle P C D$是等边三角形.
(1)当$\triangle A C P \backsim \triangle P D B$时，$A C$，$C D$，$D B$满足怎样的关系？
(2)当$\triangle A C P \backsim \triangle P D B$时，试求$\angle A P B$的度数.

答案： 5. 提示：$(1)CD^{2} = AC·DB，$根据三角形相似得到对应边成比例，将比例式转化为乘积式$. (2)\angle APB = 120^{\circ}$

6. 如图，在$\triangle A B C$中，$A B = 6 \mathrm { cm }$，$A C = 12 \mathrm { cm }$. 动点$D$从点$A$出发，到点$B$停止. 动点$E$从点$C$出发，到点$A$停止. 点$D$运动的速度为$1 \mathrm { cm } / \mathrm { s }$，点$E$运动的速度为$2 \mathrm { cm } / \mathrm { s }$. 如果两点同时运动，那么当以点$A$，$D$，$E$为顶点的三角形与$\triangle A B C$相似时，运动的时间是多长？

答案： 6. 3 s或4.8 s