《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 画出反比例函数 $ y = \frac{6}{x} $和 $ y = \frac{12}{x} $的图象.
解:列表如下(把表中空白处填写完整).


描点,以表中各对应值为坐标,在直角坐标系中用两种颜色的笔描出各点.

连线,用平滑的曲线把所描的点依次连接起来.
(1)观察这两个函数图象,回答下列问题:
①每个函数图象分别位于哪些象限? 函数图象能与坐标轴相交吗?
②在每一个象限内,随着 $ x $ 的增大,$ y $ 如何变化? 你能由它们的解析式说明理由吗?
③对于反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $,考虑问题①②,你能得出同样的结论吗?
(2)一般地,反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的图象是,分别位于第象限,并且在每个象限内,$ y $ 随 $ x $ 的增大而.

答案：
解:
| $x$ | $·s$ | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 |
| $y = \frac{6}{x}$ | $·s$ | -1 | $-\frac{6}{5}$ | $-\frac{3}{2}$ | -2 | -3 | -6 |
| $y = \frac{12}{x}$ | $·s$ | -2 | $-\frac{12}{5}$ | -3 | -4 | -6 | -12 |
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | $·s$ |
| $y = \frac{6}{x}$ | 6 | 3 | 2 | $\frac{3}{2}$ | $\frac{6}{5}$ | 1 | $·s$ |
| $y = \frac{12}{x}$ | 12 | 6 | 4 | 3 | $\frac{12}{5}$ | 2 | $·s$ |

(1)
① $y = \frac{6}{x}$的图象位于第一、三象限，$y = \frac{12}{x}$的图象位于第一、三象限，函数图象不与坐标轴相交。
②在每一个象限内，随着$x$的增大，$y$减小。
对于$y = \frac{6}{x}$，$k = 6＞0$，在第一象限$x＞0$，$y=\frac{6}{x}$，$x$增大时，分母增大，分数值减小；在第三象限$x＜0$，$y=\frac{6}{x}$，$x$增大（绝对值变小），分母绝对值变小，分数值（负数）增大（绝对值变小），即$y$也减小。同理可分析$y = \frac{12}{x}$。
③能，对于反比例函数$y = \frac{k}{x}(k＞0)$，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，随着$x$的增大，$y$减小。
(2) 双曲线；一、三；减小。

2. 回顾上面我们利用函数图象从特殊到一般研究反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的性质的过程,你能用类似的方法研究反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＜ 0) $ 的图象和性质吗?
一般地,反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＜ 0) $ 的图象是双曲线,分别位于第二、四象限,并且在每个象限内,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.

答案： 1. 取特殊值 $ k = -6 $，研究反比例函数 $ y = \frac{-6}{x} $。
2. 列表：
| $ x $ | ... | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 | ... |
|:------:|-----|----|----|----|----|---|---|---|---|-----|
| $ y $ | ... | 1 | 2 | 3 | 6 | -6| -3| -2| -1| ... |
3. 描点：在平面直角坐标系中描出表中各点 $(-6,1),(-3,2),(-2,3),(-1,6),(1,-6),(2,-3),(3,-2),(6,-1)$ 等。
4. 连线：用平滑曲线顺次连接各点，得到两条曲线，分别位于第二、四象限。
5. 观察性质：
图象位置：双曲线分别位于第二、四象限；
增减性：在第二象限内，$ x $ 从 -6 增大到 -1 时，$ y $ 从 1 增大到 6；在第四象限内，$ x $ 从 1 增大到 6 时，$ y $ 从 -6 增大到 -1，即每个象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
6. 一般结论：反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＜ 0) $ 的图象是双曲线，分别位于第二、四象限，并且在每个象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。

3. 反比例函数的图象与性质如下:

(1)当图象的两个分支无限延伸时,它们可能与坐标轴相交吗? 说明理由.
(2)双曲线是对称图形吗? 若是,说明是什么对称图形;若不是,说明理由.

答案：
(1) 不可能相交。理由：对于反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$，当$x = 0$时，函数无意义，所以图象与$y$轴不相交；当$y = 0$时，$\frac{k}{x}=0$，方程无解，所以图象与$x$轴不相交。
(2) 是对称图形。既是中心对称图形，对称中心是原点；也是轴对称图形，对称轴是直线$y = x$和直线$y=-x$。

1. 反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $ 的图象大致是(C).

答案： 1.C