《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 我们已经学习过哪些判定三角形相似的方法？

答案： 1. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2. 三边成比例的两个三角形相似。
3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
4. 两角分别相等的两个三角形相似。

2. 如图，在△ABC中，点D在AB上。
(1) 如果AC² = AD·AB，那么△ACD与△ABC相似吗？
(2) 如果∠ACD = ∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？

答案：
(1)
由题意，$AC^{2}=AD\cdot AB$，
根据比例的性质，得$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
因为$\angle A$是$\triangle ACD$和$\triangle ABC$的公共角，
根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似），
所以$\triangle ACD\sim\triangle ABC$。
(2)
由题意，$\angle ACD = \angle B$，
因为$\angle A$是$\triangle ACD$和$\triangle ABC$的公共角，
根据相似三角形的判定定理（两角对应相等，两个三角形相似），
所以$\triangle ACD\sim\triangle ABC$。

1. 观察你和同桌的三角尺，其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺相似吗？它们有什么共同特点？

答案： 答题卡作答：
两个含有同样两个锐角（$30°$与$60°$，或$45°$与$45°$）的三角尺是相似的。
对于含有$30°$和$60°$的两个三角尺，它们的三个角分别为$30°$，$60°$和$90°$，因此它们的对应角相等，根据相似三角形的判定定理（如果两个三角形的三个对应角分别相等，则这两个三角形相似），这两个三角尺是相似的。
对于含有两个$45°$角的两个三角尺，它们的三个角分别为$45°$，$45°$和$90°$，同样满足对应角相等的条件，因此这两个三角尺也是相似的。
共同特点：它们的对应角相等，因此它们是相似三角形。

2. 三角形相似的判定方法3：
的两个三角形相似。

答案： 三边对应成比例

1. 由于直角三角形是有一个角是直角的特殊三角形，除这个直角外，还需满足一个什么条件就可判定这两个直角三角形相似？
【归纳总结】有一个相等的两个直角三角形相似；两直角边的两个直角三角形相似。

答案： 锐角，对应成比例

2. 在全等三角形中有“HL”判定方法，那么在两直角三角形中，满足“斜边和一条直角边对应成比例”的两个直角三角形相似吗？

答案： 设两个直角三角形分别为$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$，其中$\angle C = \angle C' = 90°$，斜边$AB$与$A'B'$对应成比例，直角边$AC$与$A'C'$对应成比例。
即$\frac{AB}{A'B'} = k$，$\frac{AC}{A'C'} = k$（$k ＞ 0$）。
根据勾股定理，在$\triangle ABC$中，$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$；
在$\triangle A'B'C'$中，$B'C' = \sqrt{A'B'^2 - A'C'^2}$。
计算两边对应成比例：
$\frac{BC}{B'C'} = \frac{\sqrt{AB^2 - AC^2}}{\sqrt{A'B'^2 - A'C'^2}} = \frac{\sqrt{k^2A'B'^2 - k^2A'C'^2}}{\sqrt{A'B'^2 - A'C'^2}} = \frac{k\sqrt{A'B'^2 - A'C'^2}}{\sqrt{A'B'^2 - A'C'^2}} = k$
由于$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'} = k$，且$\angle C = \angle C' = 90°$，
根据相似三角形的判定方法（三边对应成比例），所以$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$。
最终结论：满足“斜边和一条直角边对应成比例”的两个直角三角形相似。

1. 下列命题属于假命题的是()。

A.有一个角等于50°的两个直角三角形相似
B.有一个角等于60°的两个等腰三角形相似
C.有一个角等于50°的两个等腰三角形相似
D.有一个角等于120°的两个等腰三角形相似

答案： 1. C