《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

6. 如果二次函数的二次项系数为 1，那么此二次函数可表示为 $ y = x^{2}+px + q $，我们称 $ [p,q] $ 为此函数的特征数，如函数 $ y = x^{2}+2x + 3 $ 的特征数是 $ [2,3] $.
(1) 若一个函数的特征数为 $ [-2,1] $，求此函数图象的顶点坐标.
(2) 探究下列问题：
①若一个函数的特征数为 $ [4,-1] $，将此函数的图象先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，求得到的图象对应的函数的特征数.
②若一个函数的特征数为 $ [2,3] $，此函数的图象经过怎样的平移才能使得到的图象对应的函数的特征数为 $ [3,4] $？

答案： 6. 解：
(1) 由题意可得出$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$,
此函数图象的顶点坐标为$(1, 0)$.
(2)①由题意可得出$y = x^2 + 4x - 1 = (x + 2)^2 - 5$,将此函数的图象先向右平移$1$个单位长度,再向上平移$1$个单位长度后,得到$y = (x + 2 - 1)^2 - 5 + 1 = (x + 1)^2 - 4 = x^2 + 2x - 3$. 图象对应的函数的特征数为$[2, -3]$. ②一个函数的特征数为$[2, 3]$,此函数解析式为$y = x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2$;一个函数的特征数为$[3, 4]$,此函数解析式为$y = x^2 + 3x + 4 = (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$. $\therefore$原函数的图象先向左平移$\frac{1}{2}$个单位长度,再向下平移$\frac{1}{4}$个单位长度可得到.

1. 二次函数 $ y = -2(x + 1)^2 + 4 $ 的图象的开口方向，顶点坐标是，对称轴是. 当 $ x $时，$ y $ 随着 $ x $ 的增大而增大；当 $ x $时，$ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小；当 $ x = $时，函数有最值，最值是.

答案： 向下；(-1,4)；直线x=-1；＜-1；＞-1；-1；大；大；4

2. 二次函数的一般式是，顶点坐标是，对称轴是.

答案： $y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$）；$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})$；直线$x = -\frac{b}{2a}$

3. 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).

答案： 设出含有待定系数的二次函数解析式；把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程（组）；解方程组，求出待定系数的值；将求出的待定系数的值代入所设解析式

4. 二次函数的 $ 3 $ 种表达式：
(1)；
(2)；
(3).

答案：
(1)$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$）；
(2)$y = a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$）；
(3)$y = a(x - x_1)(x - x_2)$（$a\neq0$）

求满足下列条件的二次函数解析式.
(1) 抛物线与 $ x $ 轴交点的横坐标为 $ -5 $ 和 $ 1 $，与 $ y $ 轴交于点 $ (0,5) $.
(2) 抛物线与 $ x $ 轴只有一个公共点 $ (2,0) $，并且与 $ y $ 轴交于点 $ (0,2) $.
(3) 当 $ x = 2 $ 时，$ y_{最小值} = -4 $，且图象过原点.

答案：
(1)
设二次函数的解析式为$y = a(x + 5)(x - 1)(a\neq0)$，
把$(0,5)$代入得：$5=a(0 + 5)(0 - 1)$，
即$-5a = 5$，解得$a=-1$，
所以$y=-(x + 5)(x - 1)=-x^{2}-4x + 5$。
(2)
因为抛物线与$x$轴只有一个公共点$(2,0)$，
所以设二次函数的解析式为$y = a(x - 2)^{2}(a\neq0)$，
把$(0,2)$代入得：$2=a(0 - 2)^{2}$，
即$4a = 2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
所以$y=\frac{1}{2}(x - 2)^{2}=\frac{1}{2}x^{2}-2x + 2$。
(3)
因为当$x = 2$时，$y_{最小值}=-4$，
所以设二次函数的解析式为$y = a(x - 2)^{2}-4(a\gt0)$，
又因为图象过原点$(0,0)$，
把$(0,0)$代入得：$0=a(0 - 2)^{2}-4$，
即$4a-4 = 0$，解得$a = 1$，
所以$y=(x - 2)^{2}-4=x^{2}-4x$。
综上，答案依次为：
(1)$y=-x^{2}-4x + 5$；
(2)$y=\frac{1}{2}x^{2}-2x + 2$；
(3)$y=x^{2}-4x$。