《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

2. 如上图，$ CD $ 是直径，且平分弦 $ AB $，$ AB $ 不是直径，则，，。

答案： CD⊥AB，$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，$\widehat{AD}=\widehat{BD}$

3. 在垂径定理的推论中，能去掉括号中“不是直径”这4个字吗？如图，$ AB $，$ CD $ 是 $ \odot O $ 中两条直径，$ AB $ 平分弦 $ CD $，但 $ AB $ 与 $ CD $ 垂直吗？

答案： 不能去掉“不是直径”这4个字。
若$AB$，$CD$是$\odot O$中两条直径，$AB$平分弦$CD$，此时$AB$与$CD$不垂直。
因为当两条直径互相平分时，它们是同一条直线或互相重合（特殊情况）或一般情况两条直径可看作由同一条直径绕圆心转动得到，仅平分关系不能得出垂直关系，在本题中$AB$平分$CD$（$CD$为直径），$AB$与$CD$夹角不一定是$90^{\circ}$，即不垂直。

1. 如图，过圆心 $ O $ 作 $ OE \perp AB $，垂足为 $ E $，交 $ \odot O $ 于点 $ D $。其中，$ OE $ 叫作弦心距（即圆心到弦的距离），$ ED $ 叫作弓形高（弧的中点到弦的距离）。已知弦 $ AB = a $，弓形高 $ ED = h $，如何求弦心距 $ OE(d) $、半径 $ r $？你能把自己的解题思路说给同学吗？

答案： 1. 由垂径定理，E为AB中点，故AE=AB/2=a/2。
2. 设半径OD=r，弦心距OE=d，弓形高ED=h，因O、E、D共线，得r=d+h（即d=r-h）。
3. 在Rt△OEA中，OA=r，OE=d，AE=a/2，由勾股定理：r²=d²+(a/2)²。
4. 将d=r-h代入上式：r²=(r-h)²+(a/2)²，展开得r²=r²-2rh+h²+a²/4，化简得2rh=h²+a²/4，解得r=(a²+4h²)/(8h)。
5. 弦心距d=r-h=(a²+4h²)/(8h)-h=(a²-4h²)/(8h)。
结论：弦心距d=(a²-4h²)/(8h)，半径r=(a²+4h²)/(8h)。

2. 上图中的4个量中，已知其中两个，均可求出另外两个。

答案： $\frac{a^{2}-4h^{2}}{8h}$；$\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+d^{2}}$，$r - d$；$\sqrt{r^{2}-(\frac{a}{2})^{2}}$，$r - d$；$2\sqrt{r^{2}-d^{2}}$，$r - d$

【例】完成教材第82页的例2，求出赵州桥主桥拱的半径。
1. 在圆中，解决有关弦的问题常常需要作什么辅助线？
2. 把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径 $ r $、圆心到弦的距离 $ d $、弦长 $ a $ 之间的关系式。

答案： 1. 过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。
2. $r^2 = d^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

变式：小勇要帮助船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面 $ AB $ 宽度为 $ 16m $ 时，拱顶高出水平面 $ 4m $，货船宽 $ 12m $，船舱顶部为矩形并高出水面 $ 3m $。
（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径。
（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下：此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由。

答案： （1）设圆弧形拱桥的半径为$ R $米，圆心为$ O $，$ AB $为水面宽，$ AB=16m $，$ C $为拱顶，$ CD $为拱高，$ CD=4m $，$ D $为$ AB $中点，由垂径定理得$ AD=8m $，$ OD=R-4 $（$ OD $为圆心到$ AB $的距离）。在$ Rt\triangle OAD $中，$ OA^2=AD^2+OD^2 $，即$ R^2=8^2+(R-4)^2 $，解得$ R=10 $。故半径为$ 10m $。
（2）货船顶部高出水面$ 3m $，即该高度距水面$ 3m $，圆心$ O $到该高度所在直线的距离为$ OD+3=6+3=9m $。设此高度处拱桥弦长为$ l $，由垂径定理得$ \left(\frac{l}{2}\right)^2=R^2-9^2=10^2-9^2=19 $，则$ l=2\sqrt{19}\approx8.7m $。因$ 8.7m＜12m $，故货船不能通过。
（1）$ 10m $；（2）不能通过。

1. 往直径为 $ 78cm $ 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示。若水面宽 $ AB = 72cm $，则水的最大深度为()。

A.$ 36cm $
B.$ 27cm $
C.$ 24cm $
D.$ 15cm $

答案： 1.C