《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

2. 掷一枚质地均匀的骰子有几种可能的结果？点数大于3且小于6的概率是多少？

答案： 6种；$\frac{1}{3}$

1. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,求下列事件的概率.
(1)两枚硬币全部正面向上;
(2)两枚硬币全部反面向上;
(3)一枚硬币正面向上,一枚硬币反面向上.
像上面这样把事件可能出现的结果一一列出的方法叫直接列举法. 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验,且事件总的结果种数比较少的等可能性事件.
当一次试验涉及两个因素,且可能出现的结果较多时,为不重复、不遗漏地列出所有可能的结果,通常用列表法.

答案：
(1) 同时抛掷两枚硬币，所有可能的结果为：正正、正反、反正、反反，共4种，且每种结果出现的可能性相等。两枚硬币全部正面向上的结果只有1种，所以概率为 $ \frac{1}{4} $。
(2) 两枚硬币全部反面向上的结果只有1种，所以概率为 $ \frac{1}{4} $。
(3) 一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的结果有2种（正反、反正），所以概率为 $ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $。

2. 同时掷两枚质地均匀的骰子,计算下列事件的概率.
(1)两枚骰子的点数相同;
(2)两枚骰子点数的和是9;
(3)至少有一枚骰子的点数为2.
【分析】此题涉及两个因素(两枚骰子),通常用列表法求两步试验的随机事件的概率.
解:两枚骰子分别记为第1枚和第2枚,用表格列举出所有可能出现的结果.

思考:将题中的“同时掷两枚骰子”改为“把一枚骰子掷两次”,所得的结果有变化吗?

答案： 根据题意，用表格列举所有可能结果：
| 第1枚\第2枚 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ------------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
总共有 $6 × 6 = 36$ 种等可能结果。
(1) 两枚骰子的点数相同
满足条件的结果有：$(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$，共6种。
概率为：$\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。
(2) 两枚骰子点数的和是9
满足条件的结果有：$(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$，共4种。
概率为：$\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$。
(3) 至少有一枚骰子的点数为2
满足条件的结果有：$(1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)$，共11种。
概率为：$\frac{11}{36}$。
思考：将“同时掷两枚骰子”改为“把一枚骰子掷两次”，所得的结果无变化，因为两种方式产生的结果空间相同。

【例1】从一副扑克牌中拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5这4张牌. 洗匀后,小明从中随机摸出1张,记下牌面上的数字为x,然后放回并洗匀,再由小华随机摸出1张,记下牌面上的数字为y,组成一对数$(x,y)$.
(1)用列表法表示出$(x,y)$的所有可能出现的结果.
(2)求小明、小华各摸1次扑克牌所确定的一对数是方程$x + y = 5$的解的概率.

答案：
(1) 列表如下：
| | 红桃2 | 红桃3 | 红桃4 | 红桃5 |
|-----|-------|-------|-------|-------|
| 红桃2| (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) |
| 红桃3| (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) |
| 红桃4| (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) |
| 红桃5| (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) |
(2) 所有可能的结果数为 $4 × 4 = 16$ 种，满足 $x + y = 5$ 的有 $(2,3)$ 和 $(3,2)$ 2 种，概率为 $\frac{2}{16} = \frac{1}{8}$。