《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例】如图,在一块宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪. 要使草坪的面积为540 m²,道路的宽为多少?

答案： 设道路的宽为 $x$ 米。
根据题意，矩形地面的总面积为 $32 × 20 = 640$（平方米）。
两条道路的面积分别为 $32x$ 和 $20x$，但两条道路在交叉处重复计算了 $x^2$ 的面积，所以道路的总面积为 $32x + 20x - x^2$。
草坪的面积为矩形地面的总面积减去道路的面积，即：
$640 - (32x + 20x - x^2) = 540$，
整理得：
$x^2 - 52x + 100 = 0$，
因式分解得：
$(x-2)(x-50)=0$，
解得：
$x_1 = 2$，$x_2 = 50$（不合题意，舍去）。
答：道路的宽为 $2$ 米。

变式1:如图,在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪. 要使草坪的面积为540 m²,道路的宽为多少?

答案： 设道路的宽为$ x $米。
根据题意，将道路平移后，余下草坪部分可看作一个长为$(32 - x)$米、宽为$(20 - x)$米的矩形，其面积为$ 540 \, m^2 $，则有：
$(32 - x)(20 - x) = 540$
展开并整理方程：
$640 - 32x - 20x + x^2 = 540$
$x^2 - 52x + 100 = 0$
因式分解：
$(x - 2)(x - 50) = 0$
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 50 $。
因为道路宽度$ x $不能超过矩形地面的宽$ 20 \, m $，所以$ x = 50 $不合题意，舍去。
答：道路的宽为$ 2 \, m $。

变式2:如图,在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪. 要使草坪的面积为540 m²,道路的宽为多少?

答案： 设道路的宽为 $x$ 米。
根据题意，矩形地面的总面积为 $20 × 32 = 640$（ $m^2$）。
道路的面积为：$20x + 32x - x^2 = 52x - x^2$（$m^2$）（因为道路在四个边，所以有两个长方形面积，但需要减去重复计算的十字交叉部分 $x^2$）。
草坪的面积为总面积减去道路的面积，即：
$640 - (52x - x^2) = 540$，
整理得：
$x^2 - 52x + 100 = 0$，
解这个一元二次方程，得到：
$x_{1} = 2$，$x_{2} = 50$。
由于道路的宽度不可能超过矩形的宽度或长度，所以 $x_{2} = 50$ 不符合题意，舍去。
答：道路的宽为 $2$ 米。

变式3:如图,在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪. 要使草坪的面积为540 m²,道路的宽为多少?

答案： 设道路的宽为 $x$ 米。
根据题意，矩形地面的总面积为 $20 × 32 = 640$（平方米）。
道路的面积为：$20x + 32x - x^2 = 52x - x^2$（平方米）（因为道路在四个边，所以有两个长方形面积，但中间交叉部分重复计算了，所以要减去一个$x × x$ 的面积）。
草坪的面积为总面积减去道路的面积，即：
$640 - (52x - x^2) = 540$，
整理得：
$x^2 - 52x + 100 = 0$，
因式分解得：
$(x - 2)(x - 50) = 0$，
解得：
$x_1 = 2$，
$x_2 = 50$（不合题意，舍去）。
答：道路的宽为 $2$ 米。