《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 直线 $ y = 2x + 3 $ 是由直线 $ y = 2x $ 向平移个单位长度得到的, 直线 $ y = 2x - 3 $ 是由直线 $ y = 2x $ 向平移个单位长度得到的.

答案： 上，3，下，3

2. 抛物线 $ y = ax^2 $ 的对称轴是, 顶点是, 当 $ a ＞ 0 $ 时, 抛物线的开口, 在对称轴左侧, $ y $ 随 $ x $ 的增大而; 当 $ a ＜ 0 $ 时, 抛物线的开口, 在对称轴左侧, $ y $ 随 $ x $ 的增大而.

答案： $y$轴（或直线$x = 0$）；$(0,0)$；向上；减小；向下；增大

3. 函数 $ y = 2x^2 + 1 $ 的图象的形状是, 开口方向, 对称轴是, 顶点坐标是, 是由抛物线 $ y = 2x^2 $ 向平移个单位长度得到的.

答案： 形状是抛物线，开口方向向上，对称轴是 $ y $ 轴（或 $ x = 0 $），顶点坐标是 $ (0,1) $，向上，1。

在同一平面直角坐标系中画出二次函数 $ y = 2x^2 $, $ y = 2x^2 + 1 $, $ y = 2x^2 - 1 $ 的图象.
解: 列表、描点并画图.

1. 观察上面所画的图象并填表:

2. 把抛物线 $ y = 2x^2 $ 向平移个单位长度, 就得到抛物线 $ y = 2x^2 + 1 $; 把抛物线 $ y = 2x^2 $ 向平移个单位长度, 就得到抛物线 $ y = 2x^2 - 1 $.
3. 观察图象, 用类比的方法探讨抛物线 $ y = -2x^2 + 1 $, $ y = -2x^2 - 1 $ 与抛物线 $ y = -2x^2 $ 的关系及图象的异同点.
4. 二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的性质如下:
(1) 填表:

(2) 增减性: 当 $ a ＞ 0 $ 时, 在对称轴的左侧, $ y $ 随 $ x $ 的增大而; 在对称轴的右侧, $ y $ 随 $ x $ 的增大而. 当 $ a ＜ 0 $ 时, 在对称轴的左侧, $ y $ 随 $ x $ 的增大而; 在对称轴的右侧, $ y $ 随 $ x $ 的增大而.
(3) 平移: 二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象与函数 $ y = ax^2 $ 的图象形状相同, 只是位置不同, 它们之间可以通过平移而得到. 把函数 $ y = ax^2 $ 的图象向上或向下平移 $ |k| $ 个单位长度可得到 $ y = ax^2 + k $ 的图象, 简记为“上加下减”.

答案：
解:列表：


1. 填表：
| 函数 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| $ y=2x^2 $ | 向上 | $y$轴（直线$x=0$） | $(0,0)$ |
| $ y=2x^2+1 $ | 向上 | $y$轴（直线$x=0$） | $(0,1)$ |
| $ y=2x^2-1 $ | 向上 | $y$轴（直线$x=0$） | $(0,-1)$ |
2. 上；1；下；1
3. 关系：抛物线$ y=-2x^2+1 $是由抛物线$ y=-2x^2 $向上平移1个单位长度得到；抛物线$ y=-2x^2-1 $是由抛物线$ y=-2x^2 $向下平移1个单位长度得到。
异同点：
相同点：开口方向相同（向下），对称轴相同（$y$轴），形状相同。
不同点：顶点坐标不同（分别为$(0,0)$，$(0,1)$，$(0,-1)$），位置不同。
4. 二次函数$ y=ax^2+k $的性质：
(1) 填表：
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| $ a＞0 $ | 向上 | $y$轴（直线$x=0$） | $(0,k)$ |
| $ a＜0 $ | 向下 | $y$轴（直线$x=0$） | $(0,k)$ |
(2) 减小；增大；增大；减小。