《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例1】解下列方程.
(1)$x^{2}-8x + 1 = 0$
(2)$2x^{2}+1 = 3x$
(3)$3x^{2}-6x + 4 = 0$

答案：
(1)
方程$x^{2}-8x + 1 = 0$，
移项可得$x^{2}-8x=-1$，
配方得$x^{2}-8x + 16=-1 + 16$，
即$(x - 4)^{2}=15$，
开平方得$x - 4=\pm\sqrt{15}$，
解得$x_{1}=4+\sqrt{15}$，$x_{2}=4-\sqrt{15}$。
(2)
方程$2x^{2}+1 = 3x$，
移项化为一般形式为$2x^{2}-3x + 1 = 0$，
二次项系数化为$1$得$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}$，
配方得$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$，
即$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{1}{16}$，
开平方得$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{1}{4}$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{1}{2}$。
(3)
方程$3x^{2}-6x + 4 = 0$，
二次项系数化为$1$得$x^{2}-2x=-\frac{4}{3}$，
配方得$x^{2}-2x + 1=-\frac{4}{3}+1$，
即$(x - 1)^{2}=-\frac{1}{3}$，
因为任何实数的平方都大于等于$0$，而$-\frac{1}{3}＜0$，
所以此方程无实数根。

变式:解下列方程.
(1)$x^{2}+8x + 4 = 0$
(2)$4x^{2}+8x = -4$
(3)$2x^{2}-x - 1 = 0$

答案：
(1)
方程$x^{2}+8x + 4 = 0$，
移项得$x^{2}+8x=-4$，
配方得$x^{2}+8x + 16=-4 + 16$，
即$(x + 4)^{2}=12$，
开平方得$x + 4=\pm2\sqrt{3}$，
解得$x_{1}=-4 + 2\sqrt{3}$，$x_{2}=-4 - 2\sqrt{3}$。
(2)
方程$4x^{2}+8x = -4$，
二次项系数化为$1$得$x^{2}+2x=-1$，
配方得$x^{2}+2x + 1=-1 + 1$，
即$(x + 1)^{2}=0$，
开平方得$x + 1 = 0$，
解得$x_{1}=x_{2}=-1$。
(3)
方程$2x^{2}-x - 1 = 0$，
二次项系数化为$1$得$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$，
配方得$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$，
即$(x-\frac{1}{4})^{2}=\frac{9}{16}$，
开平方得$x-\frac{1}{4}=\pm\frac{3}{4}$，
当$x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$时，$x = 1$；
当$x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$时，$x=-\frac{1}{2}$。
所以$x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$。

【例2】试用配方法说明:不论 $k$ 取任何实数,多项式 $k^{2}-4k + 5$ 的值必定大于0.

答案： $k^{2}-4k + 5$
$=k^{2}-4k + 4 + 1$
$=(k - 2)^{2} + 1$
因为$(k - 2)^{2} \geq 0$，所以$(k - 2)^{2} + 1 \geq 1 ＞ 0$。
故不论$k$取任何实数，多项式$k^{2}-4k + 5$的值必定大于0。