《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

3. 已知代数式 $x^{2}+1$ 的值与代数式 $2x + 4$ 的值相等,求 $x$ 的值.

答案： 3. -1或3

4. 利用配方法证明:不论 $x$ 取何值,代数式 $-x^{2}-x - 1$ 的值总是负数,并求出它的最大值.

答案： $4. -x² - x - 1 = -(x + \frac{1}{2})² - \frac{3}{4} ＜ 0,$最大值为$ - \frac{3}{4}.$

5. 若 $x^{2}-4x + y^{2}+6y+\sqrt{z - 2}+13 = 0$,求 $(xy)^{z}$ 的值.

答案： 5.36

6. 已知 $a,b,c$ 为 $\triangle ABC$ 的三边长,且 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - ac - bc = 0$,试判断 $\triangle ABC$ 的形状.

答案： 6.等边三角形

1. 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1) $3x^{2}-x = 2$
(2) $x(2x - 3)-3x(x - 2)=1$

答案：
(1)
将方程$3x^{2}-x = 2$移项得一般形式：
$3x^{2}-x - 2 = 0$
二次项系数为$3$，一次项系数为$-1$，常数项为$-2$。
(2)
先将方程$x(2x - 3)-3x(x - 2)=1$展开：
$2x^{2}-3x - 3x^{2}+6x = 1$
合并同类项得一般形式：
$-x^{2}+3x - 1 = 0$
二次项系数为$-1$，一次项系数为$3$，常数项为$-1$。

2. 自学教材第 9—11 页的内容，然后回答问题。
(1) 用配方法求出方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的两根是什么？是由方程中的哪些值确定的？
(2) 什么叫公式法？

答案：
(1) 对于方程 $ax^{2} + bx + c = 0$（$a \neq 0$），
首先，将常数项移到等式右边，得到：
$ax^{2} + bx = -c$
然后，二次项系数化为1，得到：
$x^{2} + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
接着，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得到：
$x^{2} + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^{2} = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^{2}$
化简后得到：
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} = \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}$
接下来，对方程两边同时开平方，得到：
$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$
最后，解得：
$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}, \quad x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$
两根由方程中的系数 $a$，$b$，$c$ 确定。
(2) 公式法是一种解一元二次方程的方法，它使用求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$来求解一元二次方程的根。