《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例 1】已知抛物线 $ y = -12(x + 1)^2 + 2 $。
（1）作出函数的图象。
（2）写出抛物线的开口方向、顶点 $ M $ 的坐标、对称轴。
（3）写出与 $ y $ 轴交点 $ C $ 的坐标及与 $ x $ 轴交点 $ A,B $ 的坐标。
（4）当 $ x $ 取何值时，①函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，②函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
（5）观察函数图象，当 $ x $ 取何值时，① $ y ＞ 0 $，② $ y = 0 $，③ $ y ＜ 0 $？
（6）求 $ \triangle ABM $ 的面积。

答案： 答题卡：
（1）图象：抛物线开口向下，顶点在(-1, 2)，与y轴交于点C(0, 1.5- 0.5（计算修正为） 0.5*2（原式计算） 实际应为：当x=0时，$y=-12(1)^2+2= -12+2= -10（$原题系数可能影响，按原题-12计算正确值） 准确计算：$y= -12(0+1)^2 + 2 = -12*1 + 2 = -10，$故C(0, -10)的简化（下面直接给正确计算）描述，图象略（实际教学需画）。（精确计算值采用）（2）抛物线的开口方向：向下；顶点M的坐标：(-1, 2)；对称轴：直线x = -1。（3）与y轴交点C的坐标：令x=0，则$y = -12(0 + 1)^2 + 2 = -12 + 2 = -10，$即C(0, -10)；与x轴交点A, B的坐标：令y=0，则$0 = -12(x + 1)^2 + 2，$解得$x_1 = -1 - \frac{\sqrt{6}}{6} × 2（$取正值根解对应，实际） =（精确解算$） x = -1 \pm \sqrt{\frac{2}{12}} = -1 \pm \sqrt{\frac{1}{6}} = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{6}，$即$A(-1 - \frac{\sqrt{6}}{6}, 0)，$$B(-1 + \frac{\sqrt{6}}{6}, 0)（$或写为近似小数形式，但精确值保留）。（4）①当x ＜ -1时，函数值y随x的增大而增大；②当x ＞ -1时，函数值y随x的增大而减小。（5）①当$-1 - \frac{\sqrt{6}}{6} ＜ x ＜ -1 + \frac{\sqrt{6}}{6}$时，y ＞ 0；②当$x = -1 - \frac{\sqrt{6}}{6}$或$x = -1 + \frac{\sqrt{6}}{6}$时，y = 0；③当$x ＜ -1 - \frac{\sqrt{6}}{6}$或$x ＞ -1 + \frac{\sqrt{6}}{6}$时，y ＜ 0。$（6）\triangle ABM$的面积：$S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} × AB × $高（M到x轴垂直距离，即$2）AB = \frac{\sqrt{6}}{6} × 2 = \frac{\sqrt{6}}{3}S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{6}}{3} × 2 = \frac{\sqrt{6}}{3}。$

【例 2】如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一个水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 $ 1m $ 处达到最高，高度为 $ 3m $，水柱落地处离池中心 $ 3m $。水管应多长？

答案： 以池中心为原点，水平方向为 $x$ 轴，竖直方向为 $y$ 轴建立直角坐标系。
根据题意，抛物线的顶点坐标为 $(1, 3)$，且抛物线过点 $(3, 0)$。
设抛物线的解析式为 $y = a(x - 1)^{2} + 3$。
将点 $(3, 0)$ 代入解析式，得到：
$0 = a(3 - 1)^{2} + 3$，
$0 = 4a + 3$，
解得 $a = -\frac{3}{4}$。
因此，抛物线的解析式为 $y = -\frac{3}{4}(x - 1)^{2} + 3$。
当 $x = 0$ 时，代入解析式计算 $y$ 的值：
$y = -\frac{3}{4}(0 - 1)^{2} + 3$，
$y = -\frac{3}{4} + 3$，
$y = \frac{9}{4} = 2.25$。
所以，水管的长度应为 $2.25m$。

1. 函数 $ y = -(x - 2)^2 + 3 $ 的图象可以看成是将函数 $ y = -x^2 $ 的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的。

答案： 1. 右 2 上 3

2. 抛物线 $ y = (x - 2)^2 + h - 4 $ 的顶点在直线 $ y = -4x - 1 $ 上，则 $ h = $-5。

答案： 2. -5

3. 已知二次函数 $ y = 2(x - 3)^2 + 1 $，有下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线 $ x = -3 $；③其图象的顶点坐标为 $ (3,1) $；④当 $ x ＜ 3 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。其中，正确的说法有(B)。

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 3.B