《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例1】如图,四边形$ABCD$和$EFGH$相似,求角$\alpha,\beta$的大小和线段$EH$的长度$x$.

答案：
∵四边形ABCD和EFGH相似，
∴∠α=∠C=83°，∠β=∠E=118°，AB/EF=AD/EH。
∵AB=18cm，EF=24cm，AD=21cm，
∴18/24=21/x，解得x=28。
结论：α=83°，β=118°，x=28cm。

【归纳总结】(1)利用相似多边形的特征求边和角时,关键是找对对应的和对应的.
(2)一般地,相等的角是对应角,对应角所夹的边是对应边,对应边所夹的角是对应角.
(3)我们在平日的学习中就要养成把对应顶点写在对应位置上的习惯.

答案：
(1)
对应角；对应边

变式:一个三角形的三边长依次为$4,5,6$,与它相似的另一个三角形的最长边长为$10$,那么另一个三角形的周长是.

答案： 因为两个三角形相似，所以它们的对应边成比例。
已知原三角形三边长为$4$，$5$，$6$，其最长边为$6$；另一个三角形最长边长为$10$。
设相似比为$k$，则$k = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$。
原三角形周长为$4 + 5 + 6 = 15$。
因为相似三角形周长比等于相似比，所以另一个三角形周长为$15 × \frac{5}{3} = 25$。
25

【例2】如图,满足这样条件的两个四边形相似吗?

答案： 解：
设左边四边形$ABCD$，右边四边形$A'B'C'D'$（假设对应顶点）。
已知$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle C = 120^{\circ}$，根据四边形内角和公式$\angle D=360^{\circ}-\angle A - \angle B-\angle C$，即$\angle D = 360^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}-120^{\circ}=90^{\circ}$。
虽然两个四边形对应角相等，但由于不知道对应边的比例关系。
根据相似多边形的判定定理：对应角相等且对应边成比例的多边形相似。
因为仅知道对应角相等，不知道对应边是否成比例，所以这两个四边形不一定相似。
综上，这两个四边形不一定相似。

1. 下列说法错误的是(C).

A.等边三角形都相似
B.等腰直角三角形都相似
C.矩形都相似
D.正方形都相似

答案： 1.C

2. 两个相似四边形已知角的度数如图所示,则$x=$$\frac{32}{5}$,$y=$$\frac{48}{5}$,$\alpha=$3.

答案： 2.$\frac{32}{5}$ $\frac{48}{5}$ 3

3. 若$\triangle ABC$的三边之比为$3:5:6$,与其相似的$\triangle A'B'C'$的最大边为$15\mathrm{cm}$,且$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的相似比为$\frac{2}{3}$,则$\triangle ABC$的最小边为5$\mathrm{cm}$.

答案： 3.5