《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 根据下列条件判断$\triangle A B C$与$\triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$是否相似，并说明理由.
(1)$A B = 4 \mathrm { cm } , B C = 6 \mathrm { cm } , A C = 8 \mathrm { cm } ; A ^ { \prime } B ^ { \prime } = 12 \mathrm { cm } , B ^ { \prime } C ^ { \prime } = 18 \mathrm { cm } , A ^ { \prime } C ^ { \prime } = 24 \mathrm { cm } .$
(2)$\angle A = 120 ^ { \circ } , A B = 7 \mathrm { cm } , A C = 14 \mathrm { cm } ; \angle A ^ { \prime } = 120 ^ { \circ } , A ^ { \prime } B ^ { \prime } = 3 \mathrm { cm } , A ^ { \prime } C ^ { \prime } = 6 \mathrm { cm } .$
【归纳总结】
(1)三边成比例的两个三角形相似：判断三边是否成比例，应先将三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们的对应边的比，最后由比值是否相等来确定这两个三角形是否相似.
(2)两边成比例且夹角相等：这个角必须是两边的夹角，不能是其他的角. 找到对应角之后判断对应边是否成比例.

答案：
(1)相似。理由：将$\triangle ABC$三边按大小顺序排列为$AB=4\mathrm{cm}$，$BC=6\mathrm{cm}$，$AC=8\mathrm{cm}$；$\triangle A'B'C'$三边按大小顺序排列为$A'B'=12\mathrm{cm}$，$B'C'=18\mathrm{cm}$，$A'C'=24\mathrm{cm}$。计算对应边的比：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$。因为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，所以$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。
(2)相似。理由：$\angle A=\angle A'=120^{\circ}$，计算对应边的比：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{7}{3}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$。因为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$且$\angle A=\angle A'$，所以$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。

2. 如图，在四边形$A B C D$中，$\angle B = \angle A C D$，$A B = 6 , B C = 4 , A C = 5 , C D = 7 \frac { 1 } { 2 }$. 求$A D$的长度.

答案： 在△ABC和△DCA中，
∵∠B=∠ACD，
且AB/CD=6/(7.5)=4/5，BC/CA=4/5，
∴AB/CD=BC/CA，
∴△ABC∽△DCA（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴AC/DA=BC/CA=4/5，
∵AC=5，
∴5/DA=4/5，
解得DA=25/4。
AD=25/4

【例1】已知$\triangle M N P$如图所示，下列4个三角形中，与$\triangle M N P$相似的是().

答案： A

【例2】如图，在正方形$A B C D$中，$P$是$B C$上的点，且$B C = 4 P C$，$Q$是$C D$的中点.
求证：$\triangle A D Q \backsim \triangle Q C P$.

答案： 证明：
设正方形 $ABCD$ 的边长为 $4a$，则 $AD = CD = BC = 4a$。
∵ $BC = 4PC$，
∴ $PC = \frac{1}{4}BC = a$，$BP = BC - PC = 3a$。
∵ $Q$ 是 $CD$ 的中点，
∴ $DQ = QC = \frac{1}{2}CD = 2a$。
在 $\triangle ADQ$ 和 $\triangle QCP$ 中：
$\frac{AD}{QC} = \frac{4a}{2a} = 2$，
$\frac{DQ}{CP} = \frac{2a}{a} = 2$，
∴ $\frac{AD}{QC} = \frac{DQ}{CP}$。
又
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $\angle ADQ = \angle QCP = 90°$。
∴ $\triangle ADQ \backsim \triangle QCP$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

如图，在$\triangle A B C$中，点$D$，$E$，$F$分别是$A B$，$B C$，$C A$的中点.
求证：$\triangle A B C \backsim \triangle E F D$.

答案： 证明：
因为$D$、$E$、$F$分别是$AB$、$BC$、$CA$的中点，
根据三角形中位线定理：
$DE=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，
所以$\frac{DE}{AC}=\frac{DF}{BC}=\frac{EF}{AB}=\frac{1}{2}$。
根据相似三角形的判定定理（三边对应成比例），
可得$\triangle ABC\sim\triangle EFD$。