《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

3. 观察与思考：
如图，$ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径，$ \angle BOC $，$ \angle BAC $ 分别是 $ \overset{\frown}{BC} $ 所对的圆心角、圆周角，求出图①②③中 $ \angle BAC $ 的度数.

答案： 图①：
$\angle BOC = 90°$，
根据圆周角定理，圆周角为圆心角的一半，
$\angle BAC = \frac{1}{2} × \angle BOC = \frac{1}{2} × 90° = 45°$。
图②：
$\angle BOC = 120°$，
根据圆周角定理，圆周角为圆心角的一半，
$\angle BAC = \frac{1}{2} × \angle BOC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$。
图③：
$\angle BOC = n°$，
根据圆周角定理，圆周角为圆心角的一半，
$\angle BAC = \frac{1}{2} × \angle BOC = \frac{1}{2} × n° = \frac{n}{2}°$。
最终结论：
图①中 $\angle BAC = 45°$，
图②中 $\angle BAC = 60°$，
图③中 $\angle BAC = \frac{n}{2}°$。

4. 根据以上的探究，我们得到了圆周角定理：.

答案： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半

5. 讨论：若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，上述结论是否还成立？

答案： 不成立。
同弦或等弦所对的圆周角有两种情况：
设圆周角的顶点在优弧上时为$\angle A$，在劣弧上时为$\angle B$，圆心为$O$，弦为$AB$（同弦情况），根据圆周角定理的推导及圆内接四边形性质可知$\angle A+\angle B = 180^{\circ}$，即同弦所对的圆周角相等或互补，不一定相等；对于等弦也是同样的道理，等弦可能在不同的圆中或者在同圆中不同位置，所对的圆周角不一定相等。
所以将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论不成立。

6. 定理中能不能去掉“同弧或等弧”这个前提条件？为什么？

答案： 不能去掉。
理由：在同圆或等圆中，若两段弧不同（即不是同弧或等弧），则它们所对的圆周角度数不同（因为圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半）。例如，在⊙O中，弧AB为60°，弧CD为120°，则弧AB所对圆周角为30°，弧CD所对圆周角为60°，二者不相等。故“同弧或等弧”是保证圆周角相等的必要前提，不能去掉。

7. 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等吗？所对的弦一定相等吗？

答案： 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
1. 它们所对的弧一定相等。
理由：根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。因此，相等的圆周角对应的弧的度数必然相等，故所对的弧相等。
2. 所对的弦一定相等。
理由：在同圆或等圆中，相等的弧所对应的弦相等。由于两个圆周角相等时所对的弧相等，因此所对的弦也必然相等。

8. 观察以下 3 个图形：

我们不难发现：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等. 半圆(或直径)所对的圆周角是，所对的弦是直径.

答案： 同弧或等弧；直角；90°的圆周角

9. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫作，这个圆叫作这个.
如图，四边形 $ ABCD $ 是 $ \odot O $ 的内接四边形，$ \odot O $ 是四边形 $ ABCD $ 的外接圆.

∵ $ \angle A $ 所对弧为，$ \angle C $ 所对弧为，与所对的圆心角的和是，
∴ $ \angle A + \angle C = $.
同理，$ \angle B + \angle D = $.
这样，我们得到结论：.

答案： 圆内接多边形；多边形的外接圆；弧BCD；弧BAD；弧BCD；弧BAD；360°；180°；180°；圆内接四边形的对角互补

【例 1】如图，$ \odot O $ 的直径 $ AB $ 为 $ 10 \, cm $，弦 $ AC $ 为 $ 6 \, cm $，$ \angle ACB $ 的平分线交 $ \odot O $ 于点 $ D $. 求 $ BC $，$ AD $，$ BD $ 的长度.

答案： $AB$为$\odot O$的直径，
所以$\angle ACB= \angle ADB = 90°$（直径所对圆周角为$90°$）。
在直角三角形$ABC$中，
$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
即$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8 cm$。
$CD$平分$\angle ACB$，
所以$\angle ACD = \angle BCD = 45°$。
因此$\overset{\frown}{AD} =\overset{\frown}{BD}$，
所以$AD = BD$。
在等腰直角三角形$ABD$中，
$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
即$2AD^2 = 10^2$，
$AD = BD = 5\sqrt{2} cm$。
故$ BC =8 cm$，$AD = BD = 5\sqrt{2} cm$。