《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的根的情况如下：
(1) 当 $b^{2}-4ac$ 时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 当 $b^{2}-4ac$ 时，方程有两个相等的实数根；
(3) 当 $b^{2}-4ac$ 时，方程无实数根.

答案： （1）$＞$0；（2）$=$0；（3）$＜$0

2. 如图，以 $40m/s$ 的速度将小球沿与地面成 $30^{\circ}$ 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线. 如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 $h(m)$ 与飞行时间 $t(s)$ 之间具有函数关系 $h = 20t - 5t^{2}$.
(1) 球的飞行高度能否达到 $15m$？如果能，需要飞行多长时间？
思考:为什么两个时间的高度都为 $15m$？
(2) 球的飞行高度能否达到 $20m$？如果能，需要飞行多长时间？
思考:为什么只有一个时间球的高度为 $20m$？
(3) 球的飞行高度能否达到 $20.5m$？为什么？
(4) 球从飞出到落地要用多少时间？
思考:为什么有两个时间的高度都为 $0m$？

答案：
(1) 能达到15m。令$h = 15$，则$20t - 5t^2 = 15$，整理得$t^2 - 4t + 3 = 0$，解得$t_1 = 1$，$t_2 = 3$。飞行时间为1s和3s。
思考：抛物线具有对称性，小球上升和下降过程中会两次经过同一高度（除顶点外）。
(2) 能达到20m。令$h = 20$，则$20t - 5t^2 = 20$，整理得$t^2 - 4t + 4 = 0$，解得$t = 2$。飞行时间为2s。
思考：20m是抛物线的顶点（最高点），故仅在顶点时刻达到该高度。
(3) 不能达到20.5m。令$h = 20.5$，则$20t - 5t^2 = 20.5$，整理得$5t^2 - 20t + 20.5 = 0$，判别式$\Delta = (-20)^2 - 4 × 5 × 20.5 = -10 ＜ 0$，方程无实根。
(4) 4s。令$h = 0$，则$20t - 5t^2 = 0$，解得$t_1 = 0$（飞出时刻），$t_2 = 4$（落地时刻），飞行时间为$4 - 0 = 4s$。
思考：$t = 0$时小球刚飞出，$t = 4$时小球落地，故两个时刻高度均为0m。

4. 二次函数的图象与 $x$ 轴的位置关系有 $3$ 种：，，. 这对应着一元二次方程的根的 $3$ 种情况：，，.

答案： 有两个不同交点，有一个交点，没有交点；有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根