《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例3】如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 40^{\circ}$，以C为圆心、CB长为半径的圆交AB于点D，连接CD. 求$\angle ACD$的度数.

答案： 在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 40^{\circ}$，
$\angle B = 180^{\circ}-\angle ACB-\angle A = 180^{\circ}-90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$。
因为$CB = CD$（均为$\odot C$半径），
所以$\triangle CBD$为等腰三角形，$\angle CDB=\angle B = 50^{\circ}$。
$\angle BCD=180^{\circ}-\angle CDB-\angle B=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}$。
$\angle ACD=\angle ACB-\angle BCD=90^{\circ}-80^{\circ}=10^{\circ}$。
答：$\angle ACD$的度数为$10^{\circ}$。

变式：如图，AB为$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦，AB，CD的延长线交于点E. 已知$AB = 2DE$，$\angle AEC = 20^{\circ}$，求$\angle AOC$的度数.

答案： 连接OD。
∵AB为⊙O直径，
∴AB=2r（r为⊙O半径），又AB=2DE，
∴DE=r。
∵OD为⊙O半径，
∴OD=r，故OD=DE，△ODE为等腰三角形。
∵∠AEC=20°，即∠OED=20°，
∴∠DOE=∠OED=20°（等边对等角）。
在△ODE中，∠ODE=180°-∠DOE-∠OED=180°-20°-20°=140°。
∵C、D、E共线，
∴∠ODC=180°-∠ODE=180°-140°=40°（邻补角定义）。
∵OC=OD=r，
∴△ODC为等腰三角形，∠OCD=∠ODC=40°（等边对等角）。
在△ODC中，∠COD=180°-∠OCD-∠ODC=180°-40°-40°=100°（三角形内角和定理）。
∵∠DOE=∠DOB=20°，
∴∠COB=∠COD-∠DOB=100°-20°=80°。
∵AB为直径，∠AOB=180°，
∴∠AOC=∠AOB-∠COB=180°-80°=100°。
∠AOC=100°

1. 下列说法错误的是(D).

A.直径是弦
B.半圆是弧，但弧不一定是半圆
C.半径相等的两个半圆是等弧
D.长度相等的两条弧是等弧

答案： 1.D

2. 以已知点为圆心作圆，可以作(D).

A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个

答案： 2.D

圆是人们日常生活和生产中应用较广的一种图形，确定一个圆需要的两个因素是.

答案： 圆心和半径

1. 已知AB是$\odot O$的弦，$\odot O$的半径为r，下列关系式一定成立的是(D).

A.$AB ＞ r$
B.$AB ＜ r$
C.$AB ＜ 2r$
D.$AB \leq 2r$

答案： 1.D

2. 已知$\odot O$的半径是6 cm，则$\odot O$中最长的弦的长度是(B).

A.6 cm
B.12 cm
C.16 cm
D.20 cm

答案： 2.B

3. 下列说法错误的是(C).

A.半圆是弧
B.半径相等且圆心不同的圆是等圆
C.过圆心的线段是直径
D.直径是弦

答案： 3.C

4. 到点O的距离等于4的点的集合是以点 O 为圆心、4 为半径的圆.

答案： 4.以点 O 为圆心、4 为半径的圆

5. $\odot O$的半径为2 cm，点A为$\odot O$上一定点，点P在$\odot O$上沿圆周运动(不与A重合)，则AP的长度为整数的弦共有7条.

答案： 5.7

6. 在一张长30 cm、宽20 cm的长方形纸片上剪一个最大的圆，则这个圆的面积是100π$cm^{2}$(结果用$\pi$表示).

答案： 6.100π

7. A，B两点的距离为4厘米，用图形表示具有下列性质的点的集合，并指出它们是怎样的图形.
(1) 到点A的距离等于3厘米的点的集合；
(2) 到点B的距离等于3厘米的点的集合；
(3) 到A，B两点的距离都等于3厘米的点的集合；
(4) 到A，B两点的距离都不大于3厘米的点的集合.

答案：
(1)到点A距离等于3厘米的点的集合：
以点A为圆心，3厘米为半径的圆。
(2)到点B距离等于3厘米的点的集合：
以点B为圆心，3厘米为半径的圆。
(3)到A，B两点距离都等于3厘米的点的集合：
即两个圆的交点。
由于$AB = 4$厘米，$3+3＞4$，$3-3＜4$，且两圆半径相等，
所以两个圆相交，存在两个交点，
这两个交点就是到A，B两点距离都等于3厘米的点的集合。
(4)到A，B两点距离都不大于3厘米的点的集合：
分别以A，B为圆心，3厘米为半径的两个圆所夹的透镜形（即两圆相交部分，包括边界）内的所有点。