《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

[问题 1] 用配方法解一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$。
解：移项，得 $ax^{2}+bx=-c$，
二次项系数化为 1，得 $x^{2}+$$x = -\frac{c}{a}$，
配方，得 $x^{2}+$$x+($$)^{2}=($$)^{2}-\frac{c}{a}$，
即 $(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$ ①。
[问题 2] 对于方程①，接下来能直接开平方解吗？
注意：$\because a\neq0$，$\therefore 4a^{2}＞0$。要注意式子 $b^{2}-4ac$ 的值有大于 0、小于 0 和等于 0 这 3 种情况。
(1) 当 $b^{2}-4ac＞0$ 时，$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}＞0$，直接开平方得 $x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
$\therefore x_{1}=$，$x_{2}=$，此时方程有两个不相等的实数根。
(2) 当 $b^{2}-4ac = 0$ 时，$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}=0$，此时方程有两个相等的实数根，即 $x_{1}=x_{2}=$。
(3) 当 $b^{2}-4ac＜0$ 时，$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}＜0$，此时 $(x+\frac{b}{2a})^{2}＜0$，而 $x$ 取任何实数都不能使 $(x+\frac{b}{2a})^{2}＜0$，因此方程实数根。

答案： [答题卡]解：移项，得 $ax^{2}+bx=-c$，二次项系数化为 1，得 $x^{2}+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$，配方，得 $x^{2}+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^{2}=(\frac{b}{2a})^{2}-\frac{c}{a}$，即 $(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$ ①。当 $b^{2}-4ac\geq0$ 时，方程①开平方，得 $x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，移项，得 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，所以，原方程的解为 $x_{1}=\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
@@
(1)$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
(2)$-\frac{b}{2a}$
(3)没有

【归纳总结】由上可知，一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的根由方程的系数 $a$，$b$，$c$ 而定，因此：
(1) 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 $ax^{2}+bx + c = 0$，当 $b^{2}-4ac\geq0$ 时，将 $a$，$b$，$c$ 代入式子 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ 就得到方程的根；当 $b^{2}-4ac＜0$ 时，方程没有实数根。
(2) $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ 叫作一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的求根公式。
(3) 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
(4) 由求根公式可知，一元二次方程有实数根或者实根。
(5) 一般地，式子 $b^{2}-4ac$ 叫作方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的根的判别式，通常用希腊字母 $\Delta$ 表示，即 $\Delta = b^{2}-4ac$。
(6) 用公式法解一元二次方程的基本步骤：
①变形：化已知方程为一般形式；
②确定系数：用 $a$，$b$，$c$ 写出各项系数；
③计算：求 $b^{2}-4ac$ 的值；
④代入：把有关数值代入公式计算；
⑤定根：写出原方程的根。

答案： 两个；没有